离散概率分布及示例
摘要
在这节课中，我们将深入探讨离散概率分布，从连续和离散样本空间的定义开始。我们将介绍五种最著名的离散概率分布：二项分布或伯努利分布、泊松分布、几何分布、负二项分布和超几何分布，每一种分布都会通过实际生活中的场景示例来展示其应用。此外，我们还将提出涉及这些分布的实际应用练习，例如扑克牌游戏和产品销售，让学生对这些统计工具有一个应用性的理解。
学习目标：完成本课后，学生将能够：
- 理解离散概率分布的概念及其主要特征。
- 应用二项分布、泊松分布、几何分布、负二项分布和超几何分布。
内容索引：
离散概率分布的概念
五种最著名的离散概率分布
二项分布或伯努利分布
泊松分布
几何分布
负二项分布
超几何分布
推荐练习
当我们研究样本空间时，我们观察到这些空间可以是离散的也可以是连续的。当样本空间是连续的，我们可以定义这种性质的随机变量，并据此建立离散概率分布。我们已经在这里回顾了有关随机变量的内容，现在我们将重点放在离散概率分布上。
离散概率分布的概念
我们说一个随机变量X有一个离散概率分布，如果存在一个有限或可数无限的集合C\subset\mathbb{R}使得P\left(X\in C\right)=1;这样，如果我们有值x\in C使得 p_X(x) = P(X=x),我们可以验证如果A\subset\mathbb{R},则：
\begin{array}{lr} (*) & P\left(X\in A\right) = \displaystyle \sum_{x\in A \cap C} p_X(x) \end{array}
特别地，
\begin{array}{lr} (**) & \displaystyle \sum_{x\in C} p_X(x) = 1. \end{array}
如果我们使用A=]-\infty, t],计算P(X\in A)，我们发现：
P(X\in A) = P(X\leq t) = F_X(t) = \displaystyle \sum_{x\leq t}p_X(x)
通过这个计算，我们得出F_X是一个在x\in C处跳跃的“阶梯”，跳跃的大小为p_X(x).p_X函数从C到[0,1]，我们称之为频率函数。因此，离散分布是由一个有限或可数无限的集合C\subset \mathbb{R}和一个在每个x\in C定义的函数p_X(x)\geq 0组成，它满足表达式(*)和(**)。
五种最著名的离散概率分布
在这一部分，我们将继续研究离散概率分布。下面我们将看到五种最著名的离散概率分布，并通过示例展示它们可以解决的问题类型。
二项分布或伯努利分布
二项分布或伯努利分布的随机变量是n次尝试中的成功或失败数(X)，每次尝试的成功概率为p.如果随机变量X服从二项分布，X\sim Bi(n,p),则：
\displaystyle \large P(X=k)= {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}
| 示例： 掷一个6面的骰子15次。获得4次3的倍数的概率是多少？ |
泊松分布
泊松过程分为两类：空间和时间。这种区别来自于参数\lambda的分解：
- 时间案例：\lambda=f\cdot T,其中f是频率，T是时间段。
- 空间案例：\lambda=\rho \cdot V,其中\rho是密度，V是样本体积。
重要的是，两个案例中的参数\lambda必须是无量纲的。还应记住，泊松过程是二项过程的极限情况，因此与此过程相关的随机变量也与某些“成功或失败的次数”相关。我们说随机变量X服从泊松分布，X\sim Po(\lambda),如果：
\large\displaystyle P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
| 示例（时间案例）： 如果每分钟有5辆车经过一条公路，在一分钟半的时间里经过7辆车的概率是多少？ |
| 示例（空间案例）： 正常成年男性平均每微升血液中有500万个红细胞。如果取1.2微升的血液样本，得到相同数量红细胞的概率是多少？ |
几何分布
想象一个二项过程（例如重复抛硬币）。如果你不问经过一定次数后的成功次数，而是问获得第一次成功需要的尝试次数，那么你面对的是一个具有几何分布的离散随机变量。一个随机变量X有几何分布，X\sim Ge(p),如果：
\displaystyle \large P(X=k)=p(1-p)^{k-1}
| 示例： 你和朋友玩俄罗斯轮盘赌，使用一个6个弹仓的左轮手枪和一颗实弹。每次扣动扳机但没有射出子弹时，重新转动弹舱并将枪传给对方进行他的回合。在这种情况下，你在：
|
负二项分布
类似于几何分布的是负二项分布，只不过它更通用。当你进行一个二项过程（例如连续抛硬币）并且不是问成功次数而是问获得第m次成功所需的尝试次数时，你面对的是一个具有负二项分布的离散随机变量。如果一个随机变量X有负二项分布，X\sim Bn(m,p),则：
\displaystyle\large P(X=k)= {{k-1}\choose{m-1}} p^m(1-p)^{k-m}
| 示例： 掷一个12面的骰子。当结果为1或12时称为“暴击”。第五次尝试中获得第三次暴击的概率是多少？ |
超几何分布
想象你有一个袋子，其中有N个彩色球，其中M个是白色的，剩下的是黑色的。如果从这个袋子中不放回地抽取n个球，那么抽取到的白球数量将关联到一个具有超几何分布的离散随机变量。如果一个随机变量X有超几何分布，X\sim Hg(N,M,n),则：
\displaystyle \large P(X=k)=\frac{{{M}\choose{k}} {{N-M}\choose{n-k}}}{{N}\choose{n}}
| 示例： 在一个30人的班级中，有12名男性和18名女性。如果随机选择一个7人小组，5人为男性的概率是多少？ |
推荐练习
- 一家桌游店随机出售500张可交换卡片（想象它们是神话、魔法、精灵宝可梦或其他tcg游戏的卡片）。如果卖家确保总共有450张普通卡片（低价值）和50张稀有卡片（高价值），那么随机购买20张卡片中获得3张稀有卡片的概率是多少？
在游戏中使用以下卡片：
丢弃对手4张卡片的概率是多少？
- 在某个商店，出售有制造缺陷设备的概率为2%。第十个出售的设备是第三个有缺陷设备的概率是多少？
