新的考虑

作为在真空中电磁波传播中所见的结果，在狭义相对论中，我们将光速<bdi>c</bdi>对所有惯性参照系都是相同的这一事实作为一个原则。但这样的假设并非没有代价，因为它带来了以下含义：

1. 必须放弃使用伽利略变换作为将一个惯性框架中的观察转换为另一个框架中的有效手段。
2. 必须抛弃直观的观念，即时间对所有惯性参照系都以相同方式流逝。

正是通过这些考虑，我们得到了洛伦兹变换，它作为伽利略变换的修正和概括，并且同样适用于电磁理论。

洛伦兹变换的推导

关于坐标（线性）变换的回顾

考虑两个惯性参考系S和S^\prime，它们处于标准配置，即第二个原点以恒定速度\vec{v}_0 = v_{x_0}\hat{x}相对于第一个原点运动。下面将证明，如果从两个惯性系统S和S^\prime观察到的事件坐标通过线性变换（如在相对性原理中提到的，特别是这个表达式）相关，并且接受光速在所有惯性参考系中都相同的事实，那么坐标变换恰好对应于我们稍后将获得的洛伦兹变换。

原则上，从S观察到的事件的坐标(t,x)，以及从相对于S以速度v_{v}=v_{x_0}\hat{x}移动的S^\prime观察到的同一事件的坐标(t^\prime, x^\prime)，通过以下线性变换相关联：

\begin{array}{llr} t^\prime &= At + Bx, & [1]\\ x^\prime &= Dt + Ex & [2] \end{array}

其中A, B, C和D是待解的常数，为了简化问题，我们省略了（不失一般性）坐标y和z。

将光速引入作为一个普遍常数

这些常数A, B, D和E可以根据这些新的考虑来确定，首先要注意的是，通过[1]和[2]表达的坐标变换必须始终有效，因此，它们必须在每一个特殊情况下都有效，而这些特殊情况将在下面列出以探讨它们的形式：

• 考虑事件以光速运动：如果事件在S观察到的坐标为(t,x)，在S^\prime观察到的坐标为(t^\prime, x^\prime)，那么它们必须满足关系：

  \displaystyle\frac{x^2}{t^2} = c^2 = \frac{{x^\prime}^2}{{t^\prime}^2}.

  从这里可以推断出

  c^2 t^2 - x^2 = c^2{t^\prime}^2 - {x^\prime}^2 = 0\;\;\; [3]

• 考虑事件与惯性参考系S^\prime一起移动：

  如果事件与惯性参考系S^\prime的原点具有相同的坐标，那么将有x=v_0 t和x^\prime =0。因此，根据方程[2]：

  \begin{array}{rl} & 0 = Dt + Ev_0 t \\ \equiv & D = -Ev_0\:\:\;[4] \end{array}

• 最后，考虑事件保持在惯性参考系S的原点附近：

  在这种情况下，将有x=0和x^\prime = -v_0 t^\prime，因此根据方程[2]：

  \begin{array}{rl} &-v_0t^\prime = Dt\\ \equiv & t= \displaystyle -\frac{v_0}{D} t^\prime\;\;\;[5] \end{array}

  然后，根据[1]和[5]：

  \begin{array}{rl} & t^\prime = A \left(\displaystyle -\frac{v_0}{D}\right) t^\prime + \underbrace{Bx}_{x=0} \\ \\ \equiv & \displaystyle \frac{-Av_0}{D} = 1 \\ \\ \equiv & D = -Av_0\;\;\;[6] \end{array}

最后，从[4]和[6]得出：A = E，因此由[1]和[2]给出的方程组简化为：

\begin{array}{rll} t^\prime &= At + Bx & [7]\\ \\ x^\prime &= A(x - v_{x_0} t) & [8] \end{array}

速度提升和洛伦兹因子

现在，将[7]和[8]替换进[3]，我们得到：

\begin{array}{rl} & c^2 (At +Bx)^2 - A^2 (x - v_{x_0} t)^2 = c^2t^2 - x^2\\ \\ \equiv\; & \color{blue}{(c^2 A^2) t^2} + \color{red}{(2c^2 AB)xt} \color{black} + c^2 B^2 x^2 - A^2 x^2 + \color{red} {(2A^2v_{x_0})xt} \color{black}- \color{blue}{(A^2 v_{x_0}^2) t^2} \color{black}= \color{blue}{(c^2) t^2} \color{black}- x^2. \end{array}

从蓝色部分我们得到：

\begin{array}{rl} &c^2 A^2 - A^2 v_{x_0}^2 = c^2 \\ \\ \equiv\;& A^2 (c^2 - v_{x_0}^2) = c^2 \\ \\ \equiv\;& \displaystyle A^2 = \frac{c^2}{c^2 - v_{x_0}^2} = \frac{1}{1 - \frac{v_{x_0}^2}{c^2}} \\ \equiv\;& \displaystyle A = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v_{x_0}^2}{c^2}}} \end{array}

通常我们将A=\gamma_x（洛伦兹收缩因子）和\beta_x = v_{x_0}/c（速度提升），最终形式为：

\displaystyle A = \gamma_x = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta_x^2}},\;\;\;[9]

将[9]替换进[2]，我们得到：

x^\prime = \gamma_x(x - \beta_x ct)

从红色部分我们得到：

\begin{array}{rll} &2c^2 AB + 2A^2v_{x_{x_0}} = 0& \\ \\ \equiv\;& cB^2 + Av_{x_0} = 0 & \\ \\ \equiv\;& B=\displaystyle -\frac{1}{c^2}Av_{x_0} = -\frac{\gamma_x v_{x_0}}{c^2}& \\ \\ \equiv\;& B=\displaystyle -\frac{\gamma_x \beta_x}{c} & [10] \end{array}

因此，将[9]和[10]替换进[7]，我们得到：

\begin{array}{rl} &t^\prime =\displaystyle \gamma_x t -\frac{\gamma_x \beta_x}{c} \\ \\ \equiv\; &t^\prime =\displaystyle \gamma_x \left( t -\frac{\beta_x x}{c}\right)\\ \\ \equiv\; &ct^\prime =\displaystyle \gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \end{array}

洛伦兹变换的综合

最终，从系统S到S^\prime的坐标变换线性模型可以用下列表达式表示。

\begin{array}{rl}ct^\prime &=\gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \\ x^\prime &= \gamma_x(x - \beta_x ct) \end{array}

这套变换可以以矩阵形式表示：

\left(\begin{matrix}ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}\gamma_x & -\gamma_x\beta_x & 0 & 0 \\ -\gamma_x\beta_x & \gamma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right)

这就是特殊相对论中所知的洛伦兹变换。

洛伦兹变换与伽利略变换的融合与概括

当参照系之间的速度远小于光速时，洛伦兹变换向伽利略变换的融合可以明显看出。在这种情况下，我们有：

|v_{x_0}| \ll c \longrightarrow \left\{\begin{matrix}\beta_x = \frac{v_{x_0}}{c} \approx 0 \\ \\ \gamma_x = \sqrt{1-\beta_x} \approx 1 \\ \\ \gamma_x \beta_x c = v_{x_0} \gamma_x \approx v_{x_0} \end{matrix}\right.

因此：

\left(\begin{matrix}ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}\gamma_x & -\gamma_x\beta_x & 0 & 0 \\ -\gamma_x\beta_x & \gamma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} \gamma_x ct -\gamma_x \beta_x x \\ -\gamma_x \beta_x c t + \gamma_x x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \approx \left(\begin{matrix} ct \\ -v_{x_0}t + x \\ y \\ z \end{matrix}\right)

即：

\begin{array}{rl} t^\prime &\approx t \\ x^\prime &\approx x - v_{x_0}t \\ y^\prime &\approx y \\ z^\prime &\approx z \end{array}

这正好与伽利略变换相符。通过此，我们证实了洛伦兹变换不仅是伽利略变换在接近光速时的概括，而且在远小于光速的速度时，它们会融合为伽利略变换。