简介

如果我们在之前的课程中学习的运动学可以描述物体的运动，那么通过牛顿定律我们获得了能够推理运动原因（或运动状态变化）的动力学。在这里，位置和时间的概念非常重要，因为我们通过它们定义了速度和加速度，但还有一个额外的因素：质量。

质量对定义运动状态非常重要，即线性动量。据说一个物体的线性动量 \vec{p} 是质量与速度的乘积。

\Large \vec{p}=m\vec{v}

运动状态是牛顿定律背后的关键概念。

牛顿定律与物体动力学

第一定律（惯性定律）：

在没有外部因素的情况下，所有物体保持其运动状态不变。

牛顿的第一定律的巧妙之处在于确立了对物理学具有深远重要性的两点。第一，也是最明显的：它将线性动量设定为守恒量；第二，同样重要但更为隐含：它让我们得以确立什么是惯性观察者。

有很多方式定义一个观察者，但在所有观察者中，有一类特殊的我们称之为惯性观察者。区别在于，从惯性观察者的角度来看，在没有外部因素的情况下，物体的运动状态是一种守恒量。

什么区别了惯性观察者与非惯性观察者？

区别在于，从惯性观察者的角度来看，在没有外部因素的情况下，物体的运动状态是一种守恒量。

第二定律（力与质量）：

从惯性观察者的角度来看，外部因素对物体施加的力等于其运动状态的变化。

换句话说，如果对物体施加一个力 \vec{F}，那么它将满足以下关系：

\Large \displaystyle \vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}

众所周知的“力等于质量乘以加速度”关系，\vec{F}=m\vec{a},不过是牛顿第二定律的一个结果，它是通过导数的性质和质量守恒推导出来的。

\begin{array}{rl} \vec{F} & =\displaystyle \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(m\vec{v} \right) \\ \\ & =\displaystyle \underbrace{\frac{dm}{dt}}_{= 0}\vec{v} + m \underbrace{\frac{d\vec{v}}{dt}}_{= \vec{a}} = m\vec{a} \end{array}

在最后一步中，考虑了 dm/dt=0，因为假设没有增加或减少质量，而 d\vec{v}/dt 是加速度的定义。

惯性质量

牛顿第二定律还让我们能更清晰地理解质量的概念。这里它被看作力与加速度之间的比例常数。质量越大，为达到相同的加速度，施加的力就必须越大；因此，质量被理解为物体惯性的度量，因此被称为惯性质量。如果相对于惯性观察者的两个物体在静止状态下受到相同的力（没有物质交换），那么我们有

m_1 \vec{a}_1 = \vec{F} = m_2 \vec{a}_2

由此我们可以通过加速度的量的比值来比较物体的质量。

\displaystyle \frac{m_1}{m_2} = \frac{\|\vec{a_2}\|}{\|\vec{a_1}\|}

因此，如果 m_2 是“一个标准千克”，那么我们只需观察比值 \|\vec{a}_2\|/\|\vec{a}_1\| 来知道 m_1 的重量是多少。

第三定律（作用与反作用）：

如果物体 A 对物体 B 施加一个“作用”力，那么 B 对 A 施加一个大小相等但方向相反的“反作用”力。

牛顿第三定律不仅允许我们更准确地讨论力，还明确指出外部施加力的因素也是可能受力影响的物理对象：

• 外部因素是一个可能受力影响的物理对象。
• 力永远不会单独存在，它们总是成对出现，称为“作用-反作用对”，这些对的矢量和始终为零。
• 作用-反作用对总是发生在不同的物体上，因此物体上的总力不一定为零。

由于作用-反作用对总是沿直线执行，这带来了我们稍后将看到的角动量守恒。

除此之外，牛顿第三定律还隐含了其他一些内容：

• 为了在物体上施加一个非零的净力，至少需要第二个物体。
• 作用和反作用是同时发生的。由于两个物体可以通过引力或电磁力远距离相互作用，因此在牛顿力学中，必须存在一种以无限速度将信息从一个点传递到另一个点的方式。我们知道这种事情是不可能的，因为根据狭义相对论，最大速度是光在真空中的速度，因此我们说第三定律是对现实的一种近似。

如何使用牛顿定律？

要理解如何使用牛顿定律以清楚其意义，最好是通过基于具体情况的示例以及自由体图的构建。

自由体图

自由体图是一种我们在其中表示作用在物体上的力的图示。根据我们对重量的理解，我们可以构建以下自由体图的示例。

一个物体放在水平面上

由于重力，所有有质量的物体都会感受到一个指向地面的力。通过牛顿第二定律，我们观察到该力由质量和重力加速度的乘积给出 \vec{g}=-g\hat{y}, 其中 g=9.81[m/s^2].

\vec{F}_{重量}=m\vec{g} = -mg\hat{y}

我们所理解的“重量”实际上是这个重量力的大小。

{重量}=\|\vec{F}_{重量}\|= mg

当我们将一个块放在水平面上时，出现了一对作用-反作用力：它们是重量和法向力。这些力在大小上相等，但方向相反，使得物体上的力的矢量和为零，因此其运动状态在时间上保持不变。

在水平面上滑动

假设现在该块被系在一根绳子上，我们拉动它，如以下自由体图所示：

这里我们观察到两个作用-反作用对：一方面，我们有与物体的重量和法向力相关的对，还有一个作用-反作用对与绳子的两端相关，其中人拉动该块，最后还有一个与施加的力 \vec{F}_1 和摩擦力 \vec{F}_{摩擦}相关的对，其最大值为 \mu\|\vec{F}_\textnormal{正常}\|.

摩擦系数和摩擦力

这里 \mu 是摩擦系数，它表示两个表面之间的滑动阻力；摩擦系数有两种版本：一种是动摩擦系数（\mu_c），另一种是静摩擦系数（\mu_e）。静摩擦力出现在物体保持静止时，而动摩擦力出现在物体开始滑动后。

\begin{array}{lcr}\mu = \left\{\begin{array}{lll} \mu_e & ;& \textnormal{物体处于静止} \\ \\ \mu_c & ;& \textnormal{物体处于运动} \end{array}\right. & ; & \textnormal{其中 } \mu_c \leq \mu_e\end{array}

摩擦力反对物体的运动，可以通过以下公式（简化）进行建模：

\vec{F}_\textnormal{摩擦} ( \vec{F}_1 ) = \left\{ \begin{array}{lll} - \vec{F}_1 & ; & \|\vec{F}_1\| \leq \mu_e \|\vec{F}_\textnormal{正常}\| \\ \\ -\mu_c \|\vec{F}_\textnormal{正常}\|\hat{x} & ; & \mu_e \|\vec{F}_\textnormal{正常}\| \lt \|\vec{F}\| \end{array} \right.

当施加的力小于或等于最大静摩擦力时，物体相对于地面保持静止。如果施加的力超过静摩擦力，物体开始运动，摩擦变为动摩擦；物体上的净力因此为：\vec{F}_{净} = \vec{F}_1 - \mu_c\|\vec{F}_\textnormal{正常}\|\hat{x},因此，以加速度 \vec{a} = \vec{F}_{净}/M 移动。如果物体开始运动后，施加的力等于动摩擦力，那么物体以恒定速度移动。

在斜面上滑动

当物体沿斜面滑动时，在角度 \alpha 处我们得到以下受力图：

这里为了方便，我们选择了一个参考系，使水平坐标与滑动平面对齐。在这个图中，重力被分解为两个分量：一个平行于运动，另一个垂直于运动。

• 平行分量： \vec{F}_{\textnormal{重量},x}=mg\sin(\alpha)\hat{x}
• 垂直分量： \vec{F}_{重量,y}=-mg\cos(\alpha)\hat{y}

摩擦力出现在与重量力的平行分量的反作用下，法向力作为重量力的垂直分量的反作用。如果重量力的水平分量超过最大静摩擦力，块的运动状态将以加速度改变。

\displaystyle \vec{a} = mg\left(\frac{\sin(\alpha) - \mu_c \cos(\alpha)}{m}\right)\hat{x}

悬挂质量

一个质量悬挂在连接到天花板的绳子上并且保持静止，它的自由体图如下：

一个质量悬挂在连接到天花板的绳子上并且保持静止，它的自由体图如下：

在绳子上，有一对我们称之为“张力”的力，如果绳子是不可伸展的，这些力相等且相反。在块上，还有一对力：重量和绳子的张力。如果块保持悬挂和静止，那么重量和张力相反且大小相等。这里还有第四个力没有显示，即将绳子固定在天花板上的力；这四个力形成了两个作用-反作用对。

简单摆的运动

一个质量连接到一根不可伸展的绳子上，绳子连接到天花板上，它在其自身重量的影响下围绕平衡位置摆动，这就是我们所说的简单摆。下面是它的自由体图。

由于绳子是不可伸展的，因此径向加速度为零，因而：

F_{p,\parallel} + T = ma_{\parallel}(t) = 0

另一方面，对于垂直于绳子的分量，我们有：

F_{p,\bot}=-mg\sin(\theta) = ma_{\bot}(t)

从这个最后的表达式中，可以推导出一个微分方程来描述简单摆的角位置 \theta 随时间的变化。

\displaystyle \frac{d^2\theta(t)}{dt^2} + \frac{g}{l}\sin(\theta) = 0

但是推导这个方程以及我们可以从中做出的推论将在稍后详细讨论。

使用牛顿定律解决问题

使用牛顿定律解决以下问题：

1. 一个 15[kg] 的块被放置在水平表面上。块和表面之间有静摩擦 \mu_e=0.55 和动摩擦 \mu_c=0.31
   1. 使块移动所需的最小力是多少？
   2. 当它由于先前获得的力而开始移动时，计算块的加速度。
2. 一个 12[kg] 的块被放置在可倾斜的平面上。如果静摩擦系数是 \mu_e=0.03, 确定块保持静止的最大倾斜角。
3. 一个 75[kg] 的块由于对其水平施加的力以恒定速度上升，在相对于水平面的 30^o 斜面上。如果块和平面表面之间的动摩擦系数为 \mu_c=0.21, 确定施加的力的大小。
4. 考虑两个质量 m_1 和 m_2 通过一个不可伸展、无质量的绳子连接，并通过一个滑轮，如图所示。计算两个质量的加速度。
   
5. 一根质量为 M 的柔性绳子悬挂在两堵墙之间，在连接点形成一个角度 \alpha。计算绳子在最低点的张力。
   
6. 一个质量为 m 的物体以半径 R 和恒定角速度 \omega 在 x,y 平面上绕圈。计算施加在质量上的力。