平面镜，解决问题
摘要：
在本节课中，我们将回顾一些平面镜的解决问题。根据通过铰链连接的两个平面镜之间的角度 \theta 确定反射角度 \gamma，并计算具体的例子。检查 \alpha 的临界值，以使光线在每个镜子上反射一次，并验证 \gamma 的公式。此外，还确定了使光线返回自身的入射角，并计算返回角的序列 \alpha_n = n\theta。
学习目标
完成本节课后，学生将能够：
- 理解平面镜光学的基本公式。
- 应用反射定律于平面镜问题。
- 确定根据两个平面镜之间的角度 \theta 的反射角度 \gamma。
- 分析镜子公式的极限及其有效性条件。
介绍
在 上一节课中，我们回顾了大部分与平面镜和球面镜光学相关的公式；然而，为了更好地理解这些主题，有必要回顾它们在相关问题解决中的表现。因此，我们将专门花这一部分来回顾一些问题的解决方案。这次我们将专注于平面镜。
通过铰链连接的镜子
通过铰链连接的两个平面镜 一端之间形成角度 \theta. 如果一束光线以一个角度 \alpha 入射到其中一个镜子上，使光线仅在每个镜子上反射一次并在自身相交形成角度 \gamma:
- 找出一个公式以确定角度 \gamma 其他数据的关系。
- 如果光线以 \alpha=30^o 的角度入射第一个镜子，而镜子之间的角度是 \theta=50^o，角度 \gamma 会是多少？
- 定义从第一个镜子反射的光线与第二个镜子的法线之间的角度 \beta，并使用平面镜的反射定律，我们可以完成如下图：
考虑到这一点，现在可以进行以下推理：(1) (90^o - \alpha) + (90^o - \beta) + \theta = 180^o ; 因为三角形的内角和是 180^o \equiv \alpha + \beta = \theta (2) 2\alpha +2\beta + \gamma = 180 ; 因为三角形的内角和是 180^o \equiv \gamma = 180 - 2(\alpha + \beta) (3) \color{blue}{\gamma = 180 - 2\theta} ; 从 (1,2) 因此，可以推断角度 \gamma 仅是镜子形成的角度 \theta 的函数，其公式为 \gamma(\theta) = 180^0 - 2\theta
- 根据前一部分的推理，我们得出 \gamma = 180^o - 2\cdot 50^o = 80^o
检查推理的极限
前面的练习有一个细微的问题。如果你观察这个声明，你会看到要求光线只能在每个镜子上反射一次；然而，并非所有的 \alpha 值都能实现这一点。找出满足此条件的 \alpha 值，从而使前一个练习中获得的公式有效。
我们有 \alpha 达到”临界”值时，使 \beta=0^o; 当这种情况发生时，我们可以采用一个角度 x 进行以下推理：
必须满足以下两个方程：
\alpha + x = 90^o
\theta + x = 90^o
这只有在以下情况下才有可能：
\alpha = \theta
也就是说：值 \alpha=\theta 是临界入射角，如果超过它，那么光线将在一个镜子上反射超过两次，从而使前一个练习中获得的公式无效。基于这些结果，我们可以通过写作来纠正前一个练习的结果：
\gamma(\theta, \alpha) = 180^0 - 2\theta \;\;\;\; ; \;\;\;\; \alpha \in ]0,\theta[
返回角
从这些结果可以看出，对于某些入射角，光线会返回到自身。这发生在 \alpha = 0^o 或 \alpha = \theta, 其中 \theta 是两个平面镜之间的角度。是否存在更多的返回角？如果存在，它们如何计算？
解决方案为了解决这个问题，我们必须想象光线以相对于法线的一个角度 \alpha\in ]\theta, 180^o[ 入射第一个镜子时的情况。当这种情况发生时，我们有如图所示的情况：
由于三角形的内角和是 180^o：
(90^o - \alpha) + (90^o + \beta) + \theta = 180
简化这一关系，我们可以得到 \beta 与 \alpha 和 \theta 的关系：
\beta=\alpha - \theta
这一表达式很重要，因为如果 \beta=\theta, 那么根据前一个练习的推理，光线应该在下一次反射中返回自身。因此， \alpha=2\theta. 因此，这种推理可以通过以下方式归纳扩展：
- \alpha_0 = 0^o
- \alpha_1 = \theta
- \alpha_{n-1} = \alpha_n - \theta
基于此，我们得出了返回角的序列：
- \alpha_0 = 0^o
- \alpha_1 = \theta
- \alpha_{2} = 2\theta
\vdots
- \alpha_{n} = n\theta
此外，我们必须注意，平面镜之间的角度以及每个入射角必须是锐角。