双曲线方程及其推导
摘要：
在本节课中，我们将探索双曲线的几何定义，将其与椭圆进行对比，并推导出其一般方程和标准方程。
学习目标：
在本课结束时，学生将能够：
- 几何定义什么是双曲线。
- 推导双曲线的几何定义下的一般方程和标准方程。
- 识别椭圆和双曲线在焦距上的差异。
双曲线的几何定义
之前我们已经学习了椭圆和圆的方程，并发现它们的形式为 ax^2 + bx + cy^2 + dy + e = 0，其中 a 和 b 是两个非零且符号相同的数值。我们提到，如果 a 和 b 的符号相反，那么我们将得到的不是椭圆，而是双曲线。我们之前没有详细讨论这些曲线，现在我们将填补这一空白。我们将通过几何定义双曲线，并从此推导出双曲线的一般方程和标准方程。
首先，椭圆定义为所有点的集合，使得它们到两个称为焦点的点的距离之和恒定。而双曲线则定义为所有点的集合，使得它们到焦点的距离之差的绝对值保持恒定。
也就是说，满足如下关系式：
|d(f_1,P) - d(f_2,P)| = 2a
其中 a 是任意的固定实数。
这实际上产生了两个方程，即 d(f_1,P) - d(f_2,P) = 2a 和 d(f_2,P) - d(f_1,P) = 2a，每个方程代表双曲线的一个分支。
双曲线方程的推导
根据几何定义，可以得出双曲线的代数表示。为此，我们将从最简单的情况开始，然后进行推广。我们的推理将首先适用于双曲线的一个分支，另一个分支的推导方式完全相同。
简化形式的推导
考虑两个焦点 f_1 = (-c,0) 和 f_2 = (c,0). 点 p = (x,y) 位于双曲线上，如果
\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a
由此推导出以下推理过程：
| \sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a | ; 双曲线方程 |
| \sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} - \sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} = 2a | ; 展开平方项 |
| \sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} = 2a + \sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} | ; 重组项 |
| \color{red}{x^2} + 2xc + \color{purple}{c^2} + \color{violet}{y^2} = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} + \color{red}{x^2} - 2xc + \color{purple}{c^2} + \color{violet}{y^2} | ; 两边平方 |
| 2xc = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} - 2xc | ; 消去相同项 |
| 4xc = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} | ; 重组相同项 |
| xc = a^2 + a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} | ; 简化相同项 |
| xc - a^2 = a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} | ; 简化相同项 |
| x^2c^2 -2xca^2 + a^4 = a^2(x^2 - 2xc + c^2 + y^2) | ; 两边平方 |
| x^2c^2 \color{red}{-2xca^2} + a^4 = a^2x^2 \color{red}{- 2xca^2} + a^2c^2 + a^2y^2 | ; 操作括号 |
| x^2c^2 + a^4 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2 | ; 消去相同项 |
| x^2(c^2 - a^2) - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4 = a^2(c^2 - a^2) | ; 重新组合项 |
| \displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2 - a^2} = 1 | ; 重新组合项 |
对于最后的表达式，与椭圆相似，我们取 b^2=c^2-a^2，从而得出椭圆方程：
\displaystyle \color{blue}{ \left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1 }
双曲线的一般方程
为了得到双曲线的一般方程，我们只需将刚才推导出的方程应用位置变换：
| x\longmapsto x-h |
| y\longmapsto y-k |
通过这种方式，我们自动得到了以 (h,k) 为中心的椭圆的一般方程：
\displaystyle \color{blue}{ \left(\frac{x-h}{a}\right)^2 - \left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1 }
双曲线的标准方程
如果我们将椭圆的一般方程展开，就能得到标准表达式：
| \displaystyle \left(\frac{x-h}{a}\right)^2 - \left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1 | ; 双曲线一般方程 |
| b^2 (x^2 - 2xh + h^2) - a^2(y^2-2ky + y^2) = a^2b^2 | ; 展开平方项并将所有项乘以 a^2b^2 |
| b^2 x^2 - 2hb^2x + h^2b^2 - a^2 y^2+ 2k a^2 y - a^2 k^2 = a^2b^2 | ; 操作括号 |
| b^2 x^2 - (2hb^2) x - a^2 y^2+ (2k a^2) y - (a^2b^2 + a^2 k^2 - h^2b^2) = 0 | ; 组合相同项 |
这最后的表达式形式为 Ax^2+Bx + Cy^2 + Dy + E = 0, 其中 A 和 C 始终不为零且符号相反，正如我们在研究椭圆时所提到的。