1. 引言

代数函数的研究从引入变量开始： 变量是代表数字位置的符号。传统上使用字母 x, y, z 来表示实数，在其他情况下则用 z 表示复数。当变量较多时，通常使用下标。例如，x_1, x_2, \cdots , x_n 也是变量的例子。

代数函数在数学及其应用的各个领域中具有基础性作用。这些函数通过涉及基本运算如加、减、乘、除、幂和变量的根的代数表达式来定义。理解代数函数对于研究纯数学和应用数学的许多分支，包括代数、微积分、几何和数论，都是必不可少的。此外，它们在物理学、工程学、经济学和社会科学中也具有重要意义，因为它们能够精确高效地模拟和分析实际现象。

在教育领域，代数函数为发展抽象思维和解决问题的能力提供了坚实的基础。通过学习这些函数，学生学会操作代数表达式并理解变量之间的关系，这对于进一步学习复杂数学是至关重要的。

在日常生活中，代数函数在各种实际环境中得到了应用。例如，它们用于金融管理中计算利息和摊销，用于计算机科学中开发算法，并用于工程中设计结构和系统。代数函数在数据分析和统计建模中也至关重要，帮助解释和预测基于观察数据的行为。

总之，代数函数的研究不仅是数学的基石，而且具有广泛的实际应用，强调了其在现代世界中的相关性和实用性。通过对这些函数的扎实理解，可以解决复杂问题并在各个领域开发创新解决方案。

2. 什么是代数函数？

代数函数是一种特殊的函数。 函数是一种在两个集合之间建立对应关系的法则，我们通过以下形式表示：

f: A\longmapsto B

其中 A 是输入集， B 是输出集。

每个函数 f 都有一个 定义域 (Dom(f)) 和一个 值域 (Rec(f))。定义域是函数产生有效结果的所有输入值的集合，值域是函数的所有可能输出的集合。值域也称为 像，定义域称为 原像。在定义一个函数时，有时习惯于以下列两种形式之一来表示：

f: Dom(f)\subseteq A\longmapsto Rec(f)\subseteq B

f: Dom(f)\ \longmapsto Rec(f)

因此，代数函数是那些以其变量的 代数运算 表示的函数，例如加法、减法、乘法、除法、幂和主要根。此外，如果一个函数的变量预期被实数代替，则称其为实变量函数；如果预期被复数代替，则称其为复变量函数，等等。根据变量的数量不同，还可以讨论一元函数、二元函数、三元函数或多元函数。

2.1. 代数函数的例子

1. 考虑以下函数

   \begin{matrix} f : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & f(x) =x^3 + 5x + \displaystyle \frac{6}{\sqrt{x}} \\ \end{matrix}

   这是一个一元实数变量的代数函数。我们可以直接看到

   Dom(f) = \{x\in\mathbb{R}\;|\; x\gt 0\} = ]0, +\infty[

   这是因为没有零除的情况，并且主要根只对正实数定义。

2. 现在我们来看看以下函数

   \begin{matrix} f : & \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & (x,y) & \longmapsto & f(x,y) =\displaystyle \frac{2xy + \frac{3}{x^2}}{\sqrt[3]{y-1}} \\ \end{matrix}

   这是一个二元实数变量的函数，其结果是一个实数。这也被称为 标量场。 这种类型的函数超出了本课程的范围，但在物理学中非常有用，用于描述温度等量或密度分布。这个函数的定义域也可以“肉眼”看出。

   Dom(f) = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;|\; x \neq 0 \wedge y\neq 1 \}

2.2. 关于图形和值域的评论

确定值域通常很复杂。随后我们将看到一些技术，尽管在代数上看似不可能实现，但可以轻松地做到这一点。然而，即使有这些方法，有时也会出现问题，因为有时需要超出本课程范围的技术，如计算点来识别微积分中的极大值和极小值。然而，即使没有微积分，也有很多事情可以做，这些内容我们将在适当的时候讨论。

如果你仍然有兴趣了解这些函数的值域和图形，可以随时使用 Wolfram Alpha。进入 https://www.wolframalpha.com/，尝试复制并粘贴以下内容：

x^3 + 5x + \dfrac{6}{\sqrt{x}}

以了解第一个例子的样子。对于第二个例子，复制并粘贴以下内容：

\dfrac{2xy + \dfrac{3}{x^2}}{\sqrt[3]{y-1}}

3. 其他类型的函数

我们在本课程中研究的函数可以分为两类： 代数函数和超越函数。如我们所见，代数函数是那些可以通过基本运算表达的函数，而超越函数则不能通过这种方式表达，或者需要由无限操作组成的表达式。代数函数可以进一步分为两类：多项式函数和非多项式函数。多项式函数是指可以表示为幂和差的函数。如下所示：

\displaystyle P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n

任何不符合此形式的函数都是非多项式函数。在非多项式函数中，最显著的是有理函数，这些函数可以表示为两个多项式函数的商。