Уравнение гипербол и его вывод
Резюме:
На этом уроке мы рассмотрим геометрическое определение гиперболы, сравним её с эллипсом и выведем общее и каноническое уравнение.
Цели обучения:
К концу урока студенты смогут:
- Геометрически определить, что такое гипербола.
- Вывести общее и каноническое уравнение гиперболы, исходя из её геометрического определения.
- Выявить различия между эллипсами и гиперболами с точки зрения фокальных расстояний.
СОДЕРЖАНИЕ
Геометрическое определение гиперболы
Вывод уравнения гиперболы
Общее уравнение гиперболы
Каноническое уравнение гиперболы
Геометрическое определение гиперболы
Ранее мы рассмотрели уравнение эллипсов и окружностей и выяснили, что они имеют вид ax^2 + bx + cy^2 + dy + e = 0, где a и b — это два ненулевых числа с одинаковыми знаками. Мы отметили, что если a и b имеют противоположные знаки, то вместо эллипса получается гипербола. Мы не говорили больше о этих кривых, но сейчас восполним этот пробел. Мы определим гиперболу с геометрической точки зрения и на основе этого выведем её общее и каноническое уравнение.
Эллипс определяется как множество всех точек, таких что сумма их расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, остаётся постоянной. Аналогично, гипербола — это множество точек, таких что абсолютное значение разности их расстояний от фокусов остаётся постоянным.
Иными словами, удовлетворяется следующее равенство:
|d(f_1,P) - d(f_2,P)| = 2a
Где a — это любое фиксированное действительное число.
Это приводит к двум уравнениям: d(f_1,P) - d(f_2,P) = 2a и d(f_2,P) - d(f_1,P) = 2a, каждое из которых описывает одну из ветвей гиперболы.
Вывод уравнения гиперболы
Из геометрического определения можно вывести алгебраическое представление гиперболы. Для этого мы начнем с простейшего случая и оттуда перейдём к обобщениям. Наше рассуждение будет применимо к одной ветви гиперболы, аналогично можно рассмотреть другую ветвь.
Вывод упрощённой формы
Рассмотрим два фокуса f_1 = (-c,0) и f_2 = (c,0). Точка p = (x,y) находится на гиперболе, если
\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a
И отсюда следует следующий вывод:
| \sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a | ; уравнение гиперболы |
| \sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} - \sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} = 2a | ; раскрытие квадратов |
| \sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} = 2a + \sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} | ; перераспределение членов |
| \color{red}{x^2} + 2xc + \color{purple}{c^2} + \color{violet}{y^2} = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} + \color{red}{x^2} - 2xc + \color{purple}{c^2} + \color{violet}{y^2} | ; возведение обеих сторон в квадрат |
| 2xc = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} - 2xc | ; устранение одинаковых членов |
| 4xc = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} | ; перераспределение одинаковых членов |
| xc = a^2 + a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} | ; упрощение одинаковых членов |
| xc - a^2 = a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} | ; упрощение одинаковых членов |
| x^2c^2 -2xca^2 + a^4 = a^2(x^2 - 2xc + c^2 + y^2) | ; возведение обеих сторон в квадрат |
| x^2c^2 \color{red}{-2xca^2} + a^4 = a^2x^2 \color{red}{- 2xca^2} + a^2c^2 + a^2y^2 | ; раскрытие скобок |
| x^2c^2 + a^4 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2 | ; устранение одинаковых членов |
| x^2(c^2 - a^2) - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4 = a^2(c^2 - a^2) | ; упорядочивание членов |
| \displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2 - a^2} = 1 | ; упорядочивание членов |
Для этого последнего выражения, как и для эллипсов, мы принимаем b^2=c^2-a^2 и получаем уравнение гиперболы:
\displaystyle \color{blue}{ \left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1 }
Общее уравнение гиперболы
Чтобы получить общее уравнение гиперболы, достаточно применить преобразования положения к полученному уравнению:
| x\longmapsto x-h |
| y\longmapsto y-k |
И с этим мы автоматически получаем общее уравнение гиперболы с центром в точке (h,k)
\displaystyle \color{blue}{ \left(\frac{x-h}{a}\right)^2 - \left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1 }
Каноническое уравнение гиперболы
Теперь, если мы возьмём общее уравнение гиперболы и раскроем его, мы придём к каноническому выражению:
| \displaystyle \left(\frac{x-h}{a}\right)^2 - \left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1 | ; Общее уравнение гиперболы |
| b^2 (x^2 - 2xh + h^2) - a^2(y^2-2ky + y^2) = a^2b^2 | ; решение квадратов и умножение всех членов на a^2b^2 |
| b^2 x^2 - 2hb^2x + h^2b^2 - a^2 y^2+ 2k a^2 y - a^2 k^2 = a^2b^2 | ; раскрытие скобок |
| b^2 x^2 - (2hb^2) x - a^2 y^2+ (2k a^2) y - (a^2b^2 + a^2 k^2 - h^2b^2) = 0 | ; упорядочивание одинаковых членов |
Это последнее выражение имеет вид Ax^2+Bx + Cy^2 + Dy + E = 0,, где A и C всегда отличны от нуля и имеют противоположные знаки, как мы предсказали, изучая эллипсы.
очень полезно спасибо!!!