Отражение в плоских и сферических зеркалах
Аннотация:
В этом занятии мы рассмотрим основные принципы геометрической оптики, сосредоточив внимание на отражении в плоских и сферических зеркалах. Определяются ключевые термины, такие как луч света, точечный объект и точечное изображение. Кроме того, обсуждается правило знаков для зеркал и формула Декарта для расчета положения изображений. Также рассматриваются особенности вогнутых и выпуклых зеркал и их влияние на формирование реальных и виртуальных изображений. Наконец, вводится коэффициент увеличения для описания изменения размера и ориентации изображения по отношению к оригинальному объекту.
Учебные цели
По завершении занятия студент будет способен
- Понять геометрическую оптику как упрощение электромагнитной оптики, которое облегчает понимание формирования изображений с помощью геометрии и расчетов.
- Понять законы отражения и преломления и их применение в формировании изображений с зеркалами и линзами.
- Понять и различать ключевые понятия, такие как луч света, проецируемый луч, точечный объект и точечное изображение.
- Применять правило знаков для зеркал для определения положения объектов и изображений.
- Анализировать формирование изображений в плоских зеркалах, подчеркивая симметрию и виртуальную природу изображений.
Содержание
Основные идеи геометрической оптики
Определения
Правило знаков для зеркал
Плоские зеркала и зеркальное отражение
Точечный объект перед плоским зеркалом
Расширенный объект перед плоским зеркалом
Отражение в сферических зеркалах
Соотношение между положением объекта и изображением в сферическом зеркале
Предел, когда s\to +\infty
Отражение расширенных объектов в сферических зеркалах
Вогнутые и выпуклые зеркала
Коэффициент увеличения и его интерпретация
Основные идеи геометрической оптики
Геометрическая оптика является упрощением электромагнитной оптики, которая позволяет легко понять формирование изображений и их характеристики. С помощью геометрии и расчетов можно вывести законы преломления и отражения, которые позволяют понять формирование изображений с зеркалами и линзами. В этом первом занятии мы изучим основные понятия геометрической оптики и отражение в плоских и сферических зеркалах.
Для начала обсуждения этих идей и проведения выводов, мы определим несколько ключевых понятий:
Определения
| Луч света | Это воображаемая линия, представляющая путь распространения света. Если источник является точечным объектом, тогда свет излучается от него в виде сферических (электромагнитных) волн; лучи света, следовательно, направлены вдоль потока энергии или, если предпочесть, вдоль вектора Пойнтинга. | |
| Проецируемый луч | Воображаемая линия, представляющая продолжение луча света. | |
| Точечный объект или Источник | Точка в пространстве, откуда исходят лучи света, будь то собственные или отраженные. Объект может быть точечным или расширенным; если он точечный, то не имеет формы, только позицию; если он расширенный, то имеет конечный не нулевой объем и поверхность, его окружающую. | |
| Точечное изображение | Место в пространстве, где сходятся лучи света или проецируемые лучи. | |
| Отражение | Процесс, при котором лучи света меняют направление при падении на отражающую поверхность. | |
| Преломление | Процесс, при котором лучи света меняют направление и скорость при переходе из одной среды в другую. |
Правило знаков для зеркал
Полезное правило для систематизации геометрической оптики — это правило знаков, которое вводится ниже:
- Положение объекта: Если объект находится с той стороны, с которой свет попадает на отражающую поверхность, то величина, связанная с его положением, s является положительным числом, и отрицательной в противном случае.
- Положение изображения: Если изображение находится с той же стороны, с которой свет выходит из отражающей поверхности, величина, связанная с его положением, s^\prime будет положительной, и отрицательной в противном случае.
В плоском зеркале всегда выполняется уравнение s=-s^\prime.
Плоские зеркала и зеркальное отражение
Самый простой тип отражающей поверхности — это плоское зеркало. В них видно, что любой луч, падающий под углом \theta относительно нормали к зеркалу, отражается под углом \theta^\prime =\theta. Из-за этого наблюдатель, видящий отраженный луч, будет воспринимать его как идущее от объекта, находящегося за зеркалом.
Точечный объект перед плоским зеркалом
Изображение, создаваемое в плоском зеркале, симметрично и виртуально. Симметричность означает, что расстояние между объектом и зеркалом равно расстоянию между изображением и зеркалом, а виртуальность означает, что изображение находится «за зеркалом».
Расширенный объект перед плоским зеркалом
Если наблюдатель проигнорирует существование расширенного объекта и зеркала, принимая отраженные лучи, он будет интерпретировать их так, как если бы они исходили от изображения, как если бы изображение было реальным объектом.
Отражение в сферических зеркалах
Соотношение между положением объекта и изображением в сферическом зеркале
Рассмотрим сферическое зеркало с радиусом кривизны r. Если разместить объект на расстоянии s от вершины, то изображение появится в точке s^\prime, как показано на рисунке:
Так как сумма внутренних углов треугольника равна \pi[rad], получается:
\begin{array}{lr} \phi + \theta + \pi - \beta =\pi\; &\Longrightarrow {\beta = \phi + \theta}\\ \\ \alpha + \theta + \pi - \phi =\pi\; &\Longrightarrow {\theta = \phi - \alpha} \end{array}
Отсюда следует, что \beta = 2\phi - \alpha и, следовательно
\color{blue}{\alpha + \beta = 2\phi}.
С этой информацией можно вывести соотношение между положениями s и s^\prime объекта и изображения соответственно. Для этого наблюдаем:
\begin{array}{rl} \tan(\alpha) &\displaystyle = \frac{h}{s - \delta} \\ \\ \tan(\beta) &\displaystyle = \frac{h}{s^\prime - \delta} \\ \\ \tan(\phi) &\displaystyle = \frac{h}{s - \delta} \end{array}
Теперь, если объект находится достаточно далеко от зеркала или радиус кривизны достаточно велик, можно предположить, что углы \alpha, \beta и \phi близки к нулю, и в этом контексте действительны следующие приближения:
\begin{array}{rl} \delta & \approx 0 \\ \\ \alpha &\displaystyle \approx \tan(\alpha) \approx \frac{h}{s} \\ \\ \beta &\displaystyle \approx \tan(\beta) \approx \frac{h}{s^\prime} \\ \\ \phi &\displaystyle \approx \tan(\phi) \approx \frac{h}{r} \end{array}
Используя эти приближения в уравнении, выделенном зеленым цветом, получаем:
\displaystyle \frac{h}{s}+\frac{h}{s^\prime}\approx\frac{2h}{r}
Наконец, упростив h и заменив \displaystyle f = \frac{r}{2}, получаем
\displaystyle\color{blue}{\frac{1}{s}+\frac{1}{s^\prime}\approx\frac{1}{f}}
Это называется «отношением Декарта» для сферических зеркал с малым отверстием, где значение f соответствует фокусу линзы.
Предел, когда s\to+\infty
Если вычислить значение s^\prime и вычислить предел при s\to+\infty, то получится:
\displaystyle s^\prime = \frac{1}{\frac{1}{f}-\frac{1}{s}} =\frac{sf}{s-f}
\displaystyle\lim_{s\to +\infty}s^\prime = \lim_{s\to +\infty}\frac{sf}{s-f}=f
Другими словами, если поставить источник далеко, луч, выходящий из него и доходящий до зеркала, будет практически горизонтальным, и при отражении от зеркала пройдет через фокус, как показано на рисунке:
Отражение расширенных объектов в сферических зеркалах
Результаты, которые мы рассмотрели до сих пор, позволят нам геометрически найти место, где формируется изображение объекта, когда свет, который он излучает или отражает, отражается в сферическом зеркале. Для этого достаточно заметить, что все горизонтальные лучи отражаются, проходя через фокус, что все лучи, проходящие через фокус, отражаются горизонтально и что локально (в точке, где луч сталкивается со сферическим зеркалом) зеркало ведет себя как плоское зеркало, поэтому угол падения будет равен углу отражения.
Каждая точка расширенного объекта излучает световые лучи, которые после отражения от зеркала пересекаются в соответствующей точке изображения.
Вогнутые и выпуклые зеркала
Сферические зеркала, которые мы рассмотрели до сих пор, являются примерами вогнутых зеркал. Это те зеркала, в которых кривизна находится со стороны, с которой поступают лучи света. Если кривизна направлена в противоположную сторону, зеркало называется выпуклым. При геометрическом анализе формирования изображений в таких зеркалах первое, что замечается, это то, что отраженные лучи, вместо того чтобы сходиться в точке, рассеиваются; следовательно, чтобы найти место, где формируется изображение, необходимо проецировать отраженные лучи, получая таким образом виртуальное изображение.
В этом пункте следует учитывать следующие термины:
- Реальное изображение: это когда изображение создается отраженными лучами и, следовательно, находится перед зеркалом.
- Виртуальное изображение: это когда изображение создается проецируемыми лучами и, следовательно, «находится за зеркалом».
Коэффициент увеличения и его интерпретация
Как видно из предыдущих рисунков, при отражении в сферических, вогнутых или выпуклых зеркалах изображение может изменять размер или ориентацию относительно исходного объекта. Возникает вопрос, существует ли способ моделирования этого увеличения или уменьшения и изменения ориентации изображения? Ответ — да, и он вытекает из соотношения подобия треугольников на любом из уже рассмотренных рисунков. Далее будет показан анализ для вогнутого зеркала, для выпуклых зеркал рассуждение аналогично. Чтобы правильно следовать каждому шагу, помните о правилах знаков для зеркал, которые мы рассмотрели в начале.
Так как синие и зеленые треугольники подобны, то коэффициент увеличения m=y^\prime/y, показывающий, насколько увеличивается изображение по сравнению с исходным объектом, можно рассчитать по следующему соотношению:
\displaystyle \frac{y}{s} = \frac{-y^\prime}{s^\prime}
Здесь y^\prime идет с отрицательным знаком, потому что изображение ориентировано вниз (перевернуто), а согласно правилу знаков для зеркал, s и s^\prime оба положительны. Следовательно, получается:
\displaystyle \color{blue}{m=\frac{y^\prime}{y} = - \frac{s^\prime}{s}}
То есть, зная положения объекта и изображения, можно рассчитать коэффициент увеличения зеркала.
Эту формулу можно соединить с формулой Декарта для расчета коэффициента увеличения из фокуса и положения объекта. Достаточно вспомнить, что
\displaystyle s^\prime=\frac{sf}{s-f}.
и получаем:
\displaystyle \color{blue}{m= - \frac{1}{s}\frac{sf}{s-f} = \frac{f}{f-s}}
Отсюда следует:
- Если |m|\lt 1, изображение сжимается; если |m|\gt 1, изображение расширяется; и если |m|=1, сохраняет свой размер.
- Если m\gt 0, изображение сохраняет ориентацию исходного объекта; и если m\lt 0, изображение переворачивается относительно исходного объекта.
- Изображение сжимается до точки, когда m=0.