Формулировка преобразований Галилея

Ньютоновская физика основана на принципе относительности, смоделированном через преобразования Галилея, где время устанавливается как универсальная координата для всех инерциальных наблюдателей; то есть: t=t^\prime. При этом утверждении линейное преобразование, связывающее наблюдения из двух инерциальных систем отсчета S и S^\prime, рассмотренное на уроке по принципу специальной относительности, принимает вид линейного преобразования:

\begin{array}{rl} t^\prime &= At + Bx,\\ x^\prime &= Dt + Ex,\\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &=z, \end{array} [1]

она принимает следующую форму, когда инерциальные системы S и S^\prime находятся в стандартной конфигурации, и S^\prime движется со скоростью v_{ss^\prime_x}\hat{x} относительно S

\begin{array}{rlr} {}t^\prime &= t \\ x^\prime &= x - v_{ss^\prime_x}t \\ y^\prime &= y \\ z^\prime &= z \end{array} [2]

Обратное Преобразование

Исходя из некоторой алгебраической симметрии, мы можем записать обратное преобразование:

\begin{array}{rl} t &= t^\prime \\ x &= x^\prime + v_{ss^\prime_x}t \\ y &= y^\prime \\ z &= z^\prime \end{array} [3]

Абсолютное Время и Сумма Скоростей

Исходя из первого уравнения преобразований Галилея (любого из двух, [2] или [3]) очевидно, что временная координата события не зависит от системы отсчета, из которой она наблюдается, в то время как второе позволяет получить то, что обычно понимается как «здравый смысл», связанный с суммой скоростей. Если частица движется с постоянной скоростью v_{ss^\prime_x} вдоль оси \hat{x} системы S, то ее скорость в системе S^\prime определяется как

\displaystyle v^\prime_x = \frac{dx^\prime}{dt^\prime} = \frac{dx^\prime}{dt} = \frac{d}{dt}\left(x - v_{ss^\prime_x} t \right) = v_x - v_{ss^\prime_x}

Производя расчеты в этом последнем выражении, показывается, что ускорение любой частицы одинаково в S и в S^\prime, то есть: dv^\prime_x/dt^\prime = dv_x/dt.

Галилеева Геометрия Пространства и Времени

Если мы рассмотрим два события A и B, которые имеют координаты (t_A,x_A,y_A,z_A) и (t_B,x_B,y_B,z_B), соответственно. Легко видеть, что величины \Delta t = t_B - t_A и \Delta r^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 инвариантны отдельно в рамках преобразований Галилея, что приводит нас к рассмотрению пространства и времени как отдельных сущностей. С другой стороны, \Delta r^2 предполагает, что это геометрическое свойство самого пространства. Мы признаем \Delta r^2 как квадрат расстояния между событиями в евклидовом пространстве. Это определяет геометрию пространства и времени в контексте ньютоновской механики.

Относительность Галилея и Физические Законы

Применение к Ньютоновской Динамике

В предыдущем разделе мы видели, что в контексте ньютоновской физики любые две различные инерциальные системы всегда будут наблюдать одинаковые ускорения. Это, в сочетании с вторым законом Ньютона, подразумевает, что все инерциальные системы всегда будут наблюдать одинаковую динамику. То есть:

\displaystyle F_x = m\frac{dv_x}{dt}= m\frac{dv^\prime_x}{dt^\prime} = F^\prime_x.

Это последнее выражение говорит нам, что физика не меняется при выполнении преобразований Галилея, что эквивалентно утверждению: физика одинакова для всех инерциальных наблюдателей.

Применение к Распространению Волн

Хотя сохранение физики при изменении инерциальных наблюдателей ожидаемо, в первую очередь потому, что это то, что мы наблюдаем при движении, и во вторую очередь потому, что это то, что было получено в предыдущих расчетах, это не всегда так. Наиболее заметным случаем явления, которое не сохраняется при преобразованиях Галилея, является распространение волн; обычно уравнение, моделирующее распространение волны \psi в пространстве и времени, имеет форму

\displaystyle \nabla^2 \psi = \frac{1}{v_0^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} [4]

где v_0 — скорость распространения волны.

Какое Влияние Оказывают Преобразования Галилея на Распространение Волн?

Для этого есть короткий и длинный ответ. Короткий ответ заключается в том, что «даже наблюдая одно и то же явление, разные инерциальные наблюдатели увидят ‘разную физику'». Длинный ответ включает в себя изучение того, как изменяется уравнение распространения волн при применении преобразования Галилея; для этого мы сначала берем уравнение [4] и раскладываем его по каждой из его координат, получая:

\displaystyle \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 \psi}{\partial z^2} = \frac{1}{v_0^2} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial t^2}. [5]

Имея эту формулу, мы теперь должны использовать уравнения из [3], чтобы переформулировать производные в другой инерциальной системе отсчета.

Преобразование первых производных

Следуя выражениям из [3] и вычисляя каждую переменную относительно премиальных переменных, мы получаем:

\displaystyle \frac{\partial x^\prime}{\partial x} = \frac{\partial y^\prime}{\partial y} = \frac{\partial z^\prime}{\partial z} = \frac{\partial t^\prime}{\partial t} = 1

\displaystyle \frac{\partial x^\prime}{\partial t} = - v_{x_0}

В то время как все остальные равны нулю:

\displaystyle \frac{\partial t^\prime}{\partial x} = \frac{\partial t^\prime}{\partial y} = \frac{\partial t^\prime}{\partial z} = \frac{\partial x^\prime}{\partial y} = \frac{\partial x^\prime}{\partial z} = \frac{\partial y^\prime}{\partial x} = \frac{\partial y^\prime}{\partial z} = \frac{\partial y^\prime}{\partial t} = \frac{\partial z^\prime}{\partial x} = \frac{\partial z^\prime}{\partial y} = \frac{\partial z^\prime}{\partial t} = 0

Имея это в руках, мы теперь можем вычислить производные \psi с помощью правила цепочки:

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} \underbrace{\frac{\partial x^\prime}{\partial x}}_{=1} + \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime} \underbrace{\frac{\partial y^\prime}{\partial x}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime} \underbrace{\frac{\partial z^\prime}{\partial x}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \underbrace{\frac{\partial t^\prime}{\partial x}}_{=0} = \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime}.

Аналогично для двух других пространственных переменных:

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime}.

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial z} = \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime}.

Однако временная производная покажет некоторые различия:

\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial t} &= \displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial x^\prime}\underbrace{\frac{\partial x^\prime}{\partial t}}_{=-v_{x_0}} + \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime}\underbrace{\frac{\partial y^\prime}{\partial t}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime}\underbrace{\frac{\partial z^\prime}{\partial t}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime}\underbrace{\frac{\partial t^\prime}{\partial t}}_{=1}\\ &=\displaystyle -v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime}, \end{array}

Преобразование вторых производных

Для пространственной части мы можем продолжать без особых трудностей, результаты следующие:

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2}. [6]

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {y^\prime}^2} [7]

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {z^\prime}^2} [8]

Но временная часть, как мы уже могли предвидеть из первых производных, показывает большие различия:

\begin{array}{rl} \displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} &=\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\left( -v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right)\\ & \displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} \right) + \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right)\\ &\displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial x^\prime} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + \frac{\partial }{\partial t^\prime} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t} \right)\\ &\displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial x^\prime} \left(-v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right) + \frac{\partial }{\partial t^\prime} \left(-v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right) \end{array}

\displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = v_{x_0}^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} - 2v_{x_0}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^\prime \partial t^\prime} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {t^\prime}^2}. [9]

Применение преобразований Галилея к распространению волн

Таким образом, возможно выполнить преобразование Галилея на уравнении распространения волн, заменив уравнения [6,7,8] и [9] на [5], в результате чего получается:

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {y^\prime}^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {z^\prime}^2} = \frac{1}{v_0^2} \left(\color{red}{ v_{x_0}^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} - 2v_{x_0}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^\prime \partial t^\prime}} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {t^\prime}^2} \right). [10]

Наблюдается, что форма распространения волн не сохраняется при преобразованиях Галилея из-за появления дополнительных членов, отмеченных красным. Хотя это пока не имеет серьезных последствий, в будущих классах мы увидим, что это именно тот момент, который, так сказать, «нарушает» классическую физику, уступая место специальной теории относительности.