Выталкивающая сила

Когда мы говорим о плавучести, первое, что приходит на ум, это то, что объекты кажутся легче, когда погружены в жидкость. Например, камень, который трудно поднять под водой, на воздухе практически невозможно сдвинуть. Это явление объясняется возникновением силы, называемой выталкиванием.

Когда объект погружен в жидкость, возникает выталкивающая сила, направленная вверх, равная весу жидкости, вытесненной телом. Поэтому все тела, погруженные в жидкость, кажутся частично теряющими свой вес, так как на разных участках тела на разной глубине действуют разные силы. Таким образом, выталкивающая сила будет:

F_{выталкивание} = F_2 - F_1

Так как P=F/A и P=\rho g h, мы можем вывести, что F=\rho g A h, где \rho — плотность жидкости, h — глубина, A — площадь поверхности, на которую действует давление, а g — ускорение свободного падения. Таким образом, силы, действующие на верхнюю и нижнюю грани, будут:

F_1 = \rho g A h_1

F_2 = \rho g A h_2

Таким образом, у нас получается:

\begin{array}{rl} F_{\text{выталкивание}} &= \rho g A h_2 - \rho g A h_1 \\ \\ &=\rho g A \underbrace{h_2 - h_1}_{\Delta h} \\ \\ &= \rho gV \\ \\ & =\text{Вес вытесненного объема жидкости} \end{array}

Это то, что мы называем принципом Архимеда.

ПРИМЕР: Камень массой 70[кг] лежит на дне озера. Если его объем составляет 3\cdot 10^4 [cm^3], какая сила потребуется, чтобы поднять его?

РЕШЕНИЕ:

Выталкивающая сила на камень будет:

\begin{array}{rl} F_{\text{выталкивание}} &= \rho_{\text{вода}} g V_{камень} \\ \\ &= 10^3 \left[\dfrac{кг}{м^3}\right] \cdot 9.81\left[\dfrac{м}{с^2}\right] \cdot 3 \cdot 10^4 [cm^3] \\ \\ &= 10^3 \left[\dfrac{кг}{м^3}\right] \cdot 9.81\left[\дfrac{м}{с^2}\right] \cdot 3 \cdot 10^4 \left[\дfrac{м}{100}\right]^3 = 294[Н] \end{array}

В то время как сила тяжести камня равна:

F_{\text{вес}} = m_{\text{камень}}g = 70[кг] \cdot 9.81 \left[\дfrac{м}{с^2}\right]=686[Н]

Таким образом, чтобы поднять камень под водой, потребуется сила F = 686[Н] - 294[Н] = 392[Н]. Под водой этот камень можно поднять с почти половиной той силы, которая была бы необходима на суше.

Плавучесть и принцип Архимеда

Принцип Архимеда помогает нам понять, почему некоторые объекты плавают при погружении в определенные жидкости. Например, дерево в воде. В общем случае, объект будет плавать в жидкости, если плотность среды больше плотности объекта, и он будет плавать до тех пор, пока часть его не выйдет над поверхностью. Тело поднимется, пока не достигнет равновесия. Как мы можем рассчитать, какая часть тела выйдет над жидкостью? Это легко вычислить.

Если приравнять весовую силу к выталкивающей силе, можно рассчитать, какая часть тела выйдет над поверхностью. Логика такова:

\begin{array}{rl} & F_{\text{вес}} = F_{\text{выталкивание}}\\ \\ \equiv & m_{\text{объект}} g = m_{\text{погруженный}} g \\ \\ \equiv & \rho_{\text{объект}}V_{\text{объект}} g = \rho_{\text{погруженный}} V_{\text{погруженный}} g \\ \\ \equiv & \dfrac{\rho_{\text{объект}}}{\rho_{\text{погруженный}}} = \dfrac{V_{\text{погруженный}}}{V_{\text{объект}} } = \text{Процент погруженной части тела} \end{array}

ПРИМЕР: Простой моделью можно считать, что континент — это твердая глыба камня (с плотностью =2800[кг/м^3]), плавающая на окружающей земной мантии (с плотностью =3300[кг/м^3]). Предположим, что средняя толщина континента составляет 35[км], рассчитайте среднюю высоту, которая выступает над мантией.

РЕШЕНИЕ:

Процент погруженной части тела будет:

Процент погруженной части \displaystyle = \frac{\rho_{тело}}{\rho_{жидкость}}

Таким образом, процент тела, который не погружен и выступает над мантией, будет:

Процент выступающей части \displaystyle = 1 - \frac{\rho_{тело}}{\rho_{жидкость}} = 1 - \frac{2800}{3300} \approx 0.15 = 15\%

Так как средняя толщина 35[км], то средняя выступающая часть будет 15\% 35[км]\approx 5.3 [км].