Когда мы изучаем выборочные пространства, мы видим, что они могут быть двух типов: дискретные и непрерывные. Когда выборочное пространство является непрерывным, можно определить случайные переменные такой природы и, исходя из них, установить дискретные распределения вероятности. Мы уже рассмотрели случайные переменные здесь, теперь сосредоточимся на дискретных распределениях вероятности.

Концепция дискретного распределения вероятности

Мы говорим, что случайная переменная X имеет дискретное распределение вероятности, если существует множество C\subset\mathbb{R} конечное или бесконечное счётное такое, что P\left(X\in C\right)=1; таким образом, если у нас есть значения x\in C, такие что p_X(x) = P(X=x), можно проверить, что если A\subset\mathbb{R}, то:

\begin{array}{lr} (*) & P\left(X\in A\right) = \displaystyle \sum_{x\in A \cap C} p_X(x) \end{array}

И в частности,

\begin{array}{lr} (**) & \displaystyle \sum_{x\in C} p_X(x) = 1. \end{array}

Если мы рассчитываем P(X\in A) используя A=]-\infty, t], мы обнаруживаем, что:

P(X\in A) = P(X\leq t) = F_X(t) = \displaystyle \sum_{x\leq t}p_X(x)

Из этого расчёта мы заключаем, что F_X это «лестница» с прыжками в x\in C размером p_X(x). Функция p_X от C к [0,1] это то, что мы называем функцией частот. Таким образом, дискретное распределение задаётся конечным или бесконечным счётным множеством C\subset \mathbb{R} и функцией p_X(x)\geq 0 определённой для каждого x\in C которая удовлетворяет выражениям (*) и (**).

Пять наиболее известных дискретных распределений вероятности

В этом разделе мы продолжим наше изучение дискретных распределений вероятности. Далее мы рассмотрим пять наиболее известных дискретных распределений вероятности, которые будут иллюстрированы, показывая типы задач, которые они могут помочь решить.

Биномиальное или распределение Бернулли

Биномиальное распределение или распределение Бернулли принимает случайную переменную число успехов или неудач (X) в n попытках с индивидуальной вероятностью p. Говорят, что случайная переменная X следует биномиальному распределению, X\sim Bi(n,p), тогда,

\displaystyle \large P(X=k)= {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}

Распределение Пуассона

Процессы Пуассона делятся на две категории: пространственные и временные. Это различие возникает из разложения параметра \lambda:

• Временной случай: \lambda=f\cdot T, где f это частота и T это период времени.
• Пространственный случай: \lambda=\rho \cdot V, где \rho это плотность и V это объём выборки.

Важно отметить, что в обоих случаях параметр \lambda должен быть безразмерным. Также следует помнить, что процесс Пуассона является предельным случаем биномиального процесса, поэтому случайная переменная, связанная с этим процессом, также связана с определённым «количеством успехов или неудач». Говорят, что случайная переменная X следует распределению Пуассона, X\sim Po(\lambda), если выполняется:

\large\displaystyle P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

Геометрическое распределение

Представьте себе биномиальный процесс (например, повторяющийся бросок монеты). Если вместо того, чтобы спрашивать о количестве успехов после определённого количества попыток, вы спрашиваете о количестве попыток, которые нужно совершить для получения первого успеха, то перед вами будет дискретная случайная переменная с геометрическим распределением. Случайная переменная X имеет геометрическое распределение, X\sim Ge(p), если:

\displaystyle \large P(X=k)=p(1-p)^{k-1}

Отрицательное биномиальное распределение

Подобное Геометрическому это Отрицательное Биномиальное Распределение, только оно немного более общее. Когда вы выполняете биномиальный процесс (например, последовательно бросаете монету) и вместо того, чтобы спрашивать о количестве успехов, спрашиваете о количестве попыток, которые вы совершаете до получения m-го успеха, то перед вами будет дискретная случайная переменная с отрицательным биномиальным распределением. Если случайная переменная X имеет отрицательное биномиальное распределение, X\sim Bn(m,p), то выполняется:

\displaystyle\large P(X=k)= {{k-1}\choose{m-1}} p^m(1-p)^{k-m}

Гипергеометрическое распределение

Представьте, что у вас есть мешок с N цветных шариков, из которых M белые, а остальные чёрные. Если из этого мешка вы достаёте n шариков (без возвращения), то количество белых шариков будет связано с дискретной случайной переменной с гипергеометрическим распределением. Если случайная переменная X имеет гипергеометрическое распределение, X\sim Hg(N,M,n), то:

\displaystyle \large P(X=k)=\frac{{{M}\choose{k}} {{N-M}\choose{n-k}}}{{N}\choose{n}}

Предлагаемые Упражнения

1. Магазин настольных игр продает случайные карты из партии в 500 коллекционных карт (предположим, что это карты мифов, магии, покемонов или любого другого TCG). Если продавец обеспечивает наличие в общей сложности 450 обычных карт (низкой стоимости) и 50 редких карт (высокой стоимости), какова вероятность получить 3 редкие карты при покупке 20 случайных карт?

2. Используя следующую карту в игре:

   

   Какова вероятность отбросить 4 карты противника?

3. В определенном магазине вероятность продать устройство с заводским дефектом составляет 2%. Какова вероятность того, что десятое проданное устройство будет третьим с дефектом?