Алгебра и Проекции в Rn, Векторное произведение в {\mathbb{R}^3}

Резюме:
Данная серия является прямым продолжением серии о евклидовом пространстве n измерений. Здесь мы рассмотрим некоторые понятия линейной алгебры, которые помогают лучше понять n-мерное евклидово пространство, рассмотрим понятия проекций одного вектора на другой, докажем теорему Пифагора и завершим обзором векторного произведения в \mathbb{R}^3 и его связи с другими произведениями в трехмерном евклидовом пространстве.

СОДЕРЖАНИЕ
Линейная независимость, ортогональность и проекции
Теорема Пифагора и проекция на подпространство
Скалярное и векторное произведение в \mathbb{R}^3

Линейная независимость, ортогональность и проекции

Линейная комбинация и линейная независимость

Ненулевой вектор \vec{z} может быть построен как линейная комбинация других ненулевых векторов \vec{x} и \vec{y}, если существует пара действительных чисел \alpha и \beta, не равных одновременно нулю, таких что:

\vec{z} = \alpha \vec{x} + \beta\vec{y}

Иными словами, вектор \vec{z} можно построить как взвешенную сумму векторов \vec{x} и \vec{y}.

Аналогичным образом говорится, что векторы \vec{x} и \vec{y} являются линейно независимыми, если

(\alpha \vec{x} + \beta\vec{y} = \vec{0} ) \longleftrightarrow (\alpha=0 \wedge \beta=0 )

Линейная независимость векторов \vec{x} и \vec{y} говорит нам о том, что \vec{y} не может быть получен как скалярный (ненулевой) кратный \vec{x} и наоборот.

Понятие линейной независимости, которое мы только что рассмотрели, можно распространить на более большие множества векторов. Множество ненулевых векторов \{\vec{x}_1, \cdots, \vec{x}_n\} называется линейно независимым, когда

\displaystyle \left[\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{x}_i \right) = \vec{0} \right] \longleftrightarrow \left[\bigwedge_{i=1}^n (\alpha_i = 0) \right]

Угол, образованный двумя векторами, и ортогональность

Если вспомнить неравенство Коши-Буняковского, оно утверждает, что (\forall \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n)(|\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\| \|\vec{y}\|). Учитывая это, легко установить, что для любой пары векторов \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\} выполняется соотношение:

\displaystyle -1 \leq \frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|}\leq 1

Теперь мы можем интуитивно связать скалярное произведение и угол, образованный векторами \vec{x} и \vec{y}, так как они образуют плоскость, изометричную \mathbb{R}^2. Поэтому, без потери общности, мы можем представить их как элементы \mathbb{R}^2 с углами относительно оси \hat{x}, равными \theta_x и \theta_y, соответственно, так что векторы записываются в полярной форме как:

\begin{array}{rl} \vec{x} &= \|\vec{x}\|(\cos(\theta_x) , \sin(\theta_x)) \\ \\ \vec{y} &= \|\vec{y}\|(\cos(\theta_y) , \sin(\theta_y)) \end{array}

Таким образом, мы можем предположить (снова без потери общности), что \theta_x \lt \theta_y, а затем вычислить скалярное произведение \vec{x}\cdot\vec{y}. Сделав это, мы получим следующий результат:

\begin{array}{rl}\vec{x}\cdot \vec{y} &= \|\vec{x}\| \|\vec{y}\| (\cos(\theta_x)\cos(\theta_y) + \sin(\theta_x)\sin(\theta_y)) \\ \\ &= \|\vec{x}\| \|\vec{y}\| \cos(\theta_y-\theta_x) \end{array}

Теперь, взяв разность между большим и меньшим угловым положением, мы получаем угол между векторами, \angle(\vec{x},\vec{y})=\theta_y - \theta_x. И с этим теперь можем записать:

\displaystyle \cos\left(\angle(\vec{x},\vec{y}) \right) = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|}

Здесь следует подчеркнуть, что \angle(\vec{x},\vec{y})\in [0, \pi]

Исходя из этого, мы можем связать неравенство Коши-Буняковского с геометрией углов, а также получить строгую концепцию ортогональности. Два вектора называются ортогональными, когда они образуют между собой угол \pi/2 радиан, в том смысле, который был объяснён в предыдущем абзаце. Это эквивалентно утверждению, что \cos\left(\angle(\vec{x},\vec{y})\right) = 0, что, в свою очередь, эквивалентно утверждению, что \vec{x}\cdot\vec{y} = 0. По этой причине говорят, что утверждать ортогональность векторов \vec{x} и \vec{y} эквивалентно утверждению, что \vec{x}\cdot\vec{y}=0.

Если два ненулевых вектора ортогональны, то они линейно независимы

Это несколько интуитивное свойство векторов из \mathbb{R}^n, формальное доказательство которого не столь прямолинейно, и также это свойство, которое иногда может вызывать некоторое замешательство: ортогональность двух векторов влечет за собой их линейную независимость, но линейная независимость двух векторов не обязательно влечет их ортогональность. Чтобы увидеть последнее, достаточно простого контрпримера:

Если мы возьмем векторы \vec{A}=(1,0) и \vec{B}=(1,1), которые явно не являются ортогональными, потому что \vec{A}\cdot\vec{B}=1, то увидим, что если сделать

\alpha\vec{A} + \beta\vec{B} = \vec{0}

То имеем

\begin{array}{rl} \alpha + \beta &= 0 \\ \beta &= 0 \end{array}

и, следовательно: \alpha = 0 \wedge \beta=0. И таким образом делаем вывод, что:

\alpha\vec{A} + \beta\vec{B} = \vec{0} \longleftrightarrow \alpha = 0 \wedge \beta=0

Что эквивалентно утверждению, что \vec{A} и \vec{B} линейно независимы. Таким образом, становится совершенно ясно, что неверно утверждать, будто линейная независимость влечет ортогональность. Однако ортогональность действительно влечет линейную независимость, и именно это я формально докажу далее. Для этого рассмотрим следующий набор предпосылок:

\mathcal{H}= \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\cdot\vec{y}=0, \alpha\vec{x}+\beta\vec{y} = \vec{0}\}

Исходя из этого, мы можем построить следующее рассуждение:

\begin{array}{rll} (1) &\mathcal{H}\vdash \vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\} &{;\;Предположение}\\ \\ (2) &\mathcal{H}\vdash \vec{x}\cdot\vec{y}=0 &{\;Предположение} \\ \\ (3) &\mathcal{H}\vdash \alpha\vec{x} + \beta\vec{y} = \vec{0} &{\;Предположение} \\ \\ (4) &\mathcal{H}\vdash (\alpha\vec{x} + \beta\vec{y})\cdot\vec{x} = \alpha\|\vec{x}\|^2 + \beta(\vec{x}\cdot\vec{y}) &{;\; Билинейность} \\ \\ (5) &\mathcal{H}\vdash \alpha\|\vec{x}\|^2 = 0 & {;\; Из(2,3,4)} \\ \\ (6) &\mathcal{H}\vdash \alpha = 0 & {;\; Из(1,5)} \\ \\ (7) &\mathcal{H}\vdash (\alpha\vec{x} + \beta\vec{y})\cdot\vec{y} = \alpha(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \beta\|\vec{y}\|^2 & {;\;Билинейность} \\ \\ (8) &\mathcal{H}\vdash \beta\|\vec{y}\|^2 = 0 &{;\;Из(2,3,7)} \\ \\ (9) &\mathcal{H}\vdash \beta = 0 &{;\;Из(1,8)} \\ \\ (10) &\mathcal{H}\vdash \alpha= 0 \wedge \beta = 0 &{;\;\wedge-int(6,9)} \end{array}

Из этого мы заключаем, что

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\cdot\vec{y}=0, \alpha\vec{x}+\beta\vec{y} = \vec{0}\} \vdash \alpha= 0 \wedge \beta = 0

Наконец, применяя теорему о дедукции к этому последнему выражению, получаем:

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\cdot\vec{y}=0\} \vdash (\alpha\vec{x}+\beta\vec{y} = \vec{0}) \rightarrow (\alpha= 0 \wedge \beta = 0)

Доказательство в обратном направлении тривиально.

То есть: если \vec{x} и \vec{y} являются ненулевыми и ортогональными векторами, то они линейно независимы.

Проекция одного вектора на другой

Предположим, что у нас есть два ненулевых вектора \vec{x} и \vec{y}, которые образуют между собой угол \angle(\vec{x},\vec{y}), и мы спрашиваем себя: «В какой степени вектор \vec{x} лежит на векторе \vec{y}?» или «Какова величина тени вектора \vec{x}, когда он проектируется на направление вектора \vec{y}?». Этот вопрос можно решить с помощью тригонометрии и тем самым определить проекцию вектора \vec{x} на другой \vec{y}, Proy_{\vec{y}}(\vec{x}), через выражение:

Proy_{\vec{y}}(\vec{x}) = \| \vec{x}\| \cos(\angle(\vec{x},\vec{y})) \hat{y}

Если объединить это с ранее рассмотренным, можно записать:

\displaystyle Proy_{\vec{y}}(\vec{x}) = {\| \vec{x}\|} \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{{\|\vec{x}\|} \|\vec{y}\|}\right)\color{red}{\hat{y}} = \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{y}\|} \right)\color{red}{\frac{\vec{y}}{\|\vec{y}\|}} = \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{y}\|^2}\right)\vec{y} = \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\vec{y}\cdot\vec{y}}\right)\vec{y}

так как, напомним,

\displaystyle \cos(\angle(\vec{x},\vec{y})) = \frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{x}\| \|\vec{y}\|}

Проекции важны, потому что они позволяют нам выражать векторы в терминах любого базиса как сумму их проекций:

\vec{x} = \displaystyle \sum_{i=1}^n \alpha_i \hat{u}_i

Где \{\vec{u}_i\}_{i=1,\cdots, n} — это базис линейно независимых векторов \mathbb{R}^n, а коэффициенты \alpha_i = (\vec{x}\cdot\vec{u}_i)/\|\vec{u}_i\| являются именно проекциями на каждый элемент базиса и составляют координаты \vec{x} относительно базиса \{\hat{u}_i\}_{i=1,\cdots, n} в \mathbb{R}^n.

Теорема Пифагора и проекция на подпространство

Теорема Пифагора — это результат, известный всем и имеющий бесчисленное множество доказательств. Одно из возможных доказательств этой теоремы возникает именно из материала, который мы рассмотрели для евклидова пространства, с тем дополнением, что оно справедливо для любого числа измерений.

Доказательство теоремы Пифагора

Если у нас есть прямоугольный треугольник с катетами a и b, и гипотенузой c,, то теорема Пифагора утверждает, что a^2+b^2=c^2. Поняв это, мы можем представить каждый катет через пару ортогональных векторов \vec{x} и \vec{y} и записать теорему Пифагора следующим образом:

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} \leftrightarrow (\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2)

Где выражение \vec{x}\bot\vec{y} указывает, что оба вектора ортогональны, то есть ненулевые и такие, что \vec{x}\cdot\vec{y}=0. Таким образом, устанавливается отношение биэквивалентности между ортогональностью и суммой квадратов длин двух векторов.

Эта векторная форма представления теоремы Пифагора может быть доказана с помощью следующих двух рассуждений:

Сначала в прямом направлении:

\begin{array}{rll} (1) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} & {;\;Предположение} \\ \\ (2) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \vec{x}\cdot\vec{y}= 0 & {;\;Из(1)} \\ \\ (3) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = (\vec{x} + \vec{y})\cdot(\vec{x} + \vec{y}) = \|\vec{x}\|^2 + 2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \|\vec{y}\|^2 & \\ &;\; Свойство\;евклидовой\;нормы\;и\;скалярного\;произведения & \\ \\ (4) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2 & {;\;Из(2,3)} \\ \\ (5) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} \rightarrow ( \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2) & {;\;ТД(4)} \end{array}

А теперь в обратном направлении:

\begin{array}{rll} (1) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2 & {;\;Предположение} \\ \\ (2) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 +2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \|\vec{y}\|^2 & \\ &;\; Свойство\;евклидовой\;нормы\;и\;скалярного\;произведения &\\ \\ (3) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \vec{x}\cdot\vec{y}=0 & {;\;Из(1,2)} \\ \\ (4) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} & {;\;Из(3)} \\ \\ (5) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash (\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2) \rightarrow \vec{x}\bot\vec{y} & {;\;ТД(4)} \end{array}

И наконец, объединяя оба рассуждения, получаем то, что и хотели доказать:

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} \leftrightarrow (\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2)

Проекция вектора на подпространство \mathbb{R}^n

Рассмотрим подпространство H пространства \mathbb{R}^n, образованное базисом из ортонормированных векторов \{\hat{v}_1, \cdots, \hat{v}_k\}. Если мы возьмем вектор \vec{x}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, то проекция вектора \vec{x} на пространство H определяется через выражение:

Proy_{H}(\vec{x}) = \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j

То, что множество является ортонормированным, означает, что все его элементы попарно ортогональны и каждый имеет норму, равную единице.

Иными словами, это тень, которую вектор отбрасывает на каждую из компонент подпространства H пространства \mathbb{R}^n.

Расстояние между точкой или вектором \mathbb{R}^n и подпространством \mathbb{R}^n

Исходя из проекции вектора \vec{x}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\} на подпространство H пространства \mathbb{R}^n, можно построить вектор вида

\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})

Вектор, построенный таким образом, будет соединять точку подпространства H с точкой с координатами \vec{x}, выходя ортогонально к подпространству H. Это нетрудно доказать: если мы возьмем произвольный вектор \vec{z}\in H и вычислим скалярное произведение (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z}, достаточно будет увидеть, что результат этой операции равен нулю. Проведем вычисления, чтобы убедиться в этом:

Если \vec{z}\in H, то он имеет вид

\vec{z}=\displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j

Где \{\hat{v}_j\}_{j=1}^k — это ортонормированный базис H, а \beta_j \in\mathbb{R} — коэффициенты вектора \vec{z} в H. Принимая это во внимание, вычисление скалярного произведения (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z}, даст:

\begin{array}{rl} (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z} &= \left(\vec{x} - \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \right) \cdot \displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= \vec{x} \cdot \displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j - \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \end{array}

Но так как \vec{x} — это вектор из \mathbb{R}^n, подпространством которого является H, можно найти набор из n-k ортонормированных между собой и одновременно ортонормированных ко всем векторам H векторов, обозначим его как \{\hat{v}_{k+1}, \cdots, \hat{v}_n\}, так что вместе с базисом H они образуют базис для \mathbb{R}^n, и можно записать

\vec{x} = \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j + \sum_{j=k+1}^n \alpha_j \hat{v}_j

Таким образом, развертывание выше продолжается в следующей форме:

\begin{array}{rl} (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z} &= \displaystyle \left( \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j + \sum_{j=k+1}^n \alpha_j \hat{v}_j\right) \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j - \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j + \underbrace{\color{red}{\sum_{j=k+1}^n \alpha_j \hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j}}_{(*)} - \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j - \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= 0 \end{array}

(*) Сумма равна нулю, потому что \{v_j\}_{j=1}^n — это ортонормированный базис \mathbb{R}^n.

Исходя из этого, мы можем показать, что расстояние между подпространством H и вектором \vec{x} задается выражением:

\|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\|

Доказательство

Чтобы доказать этот результат, будет показано, что для любого \vec{z}\in H всегда выполняется \|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\| \leq \|\vec{x} - \vec{z}\|, для этого мы используем теорему Пифагора следующим образом:

\begin{array}{rl} \|\vec{x} - \vec{z}\|^2 &= \| \left(\vec{x} -Proy_{H}(\vec{x}) \right) + \left(Proy_{H}(\vec{x}) - \vec{z}\right)\|^2 \\ \\ &= \| \vec{x} -Proy_{H}(\vec{x}) \|^2 + \|Proy_{H}(\vec{x}) - \vec{z}\|^2 \\ \\ \end{array}

Это последнее равенство получается потому, что векторы \vec{x} -Proy_{H}(\vec{x}) и Proy_{H}(\vec{x}) - \vec{z} ортогональны. И, следовательно:

\|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\|^2 \leq \|\vec{x} - \vec{z}\|^2

что и требовалось доказать.

Теперь, имея этот результат, мы можем сказать, что расстояние между точкой \vec{x}\in\mathbb{R}^n и подпространством H пространства \mathbb{R}^n, порожденным ортонормированными векторами \{\hat{v}_1, \cdots, \hat{v}_k\}, задается выражением:

dist(\vec{x},H) =\left\|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\right\|= \left\|\vec{x} - \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j\right\|

Скалярное и векторное произведение в \mathbb{R}^3

Теперь мы немного изменим наш подход, чтобы сосредоточиться на векторах из \mathbb{R}^3. Здесь, помимо операций, которые мы уже рассмотрели в общем случае для \mathbb{R}^n, возможно также векторное произведение, которое в результате умножения двух векторов дает другой вектор. Это произведение существует только в \mathbb{R}^3 (и возможно в \mathbb{R}^7, случай которого мы здесь рассматривать не будем). Обычно векторы канонического базиса \mathbb{R}^3 обозначаются буквами \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} или как \hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}. Предпочтение того или иного варианта является личным выбором.

\begin{array}{rl} \hat{\imath} = \hat{x}&=(1,0,0)\\ \hat{\jmath} =\hat{y}&=(0,1,0)\\ \hat{k} =\hat{z}&=(0,0,1)\\ \end{array}

Таким образом, если у нас есть вектор вида (a,b,c), его можно записать в алгебраической форме следующим образом:

(a,b,c) = a\hat{x} + b\hat{y} + c\hat{z}

Векторное произведение в \mathbb{R}^3

Пусть \vec{x}=(x_1,x_2,x_3) и \vec{y}=(y_1,y_2,y_3) — векторы из \mathbb{R}^3. Векторное произведение \vec{x} с \vec{y}, \vec{x}\times\vec{y}, определяется следующим образом:

\begin{array}{rl} \vec{x}\times\vec{y} &= \left|\begin{array}{ccc} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{array}\right| \\ \\ &=\hat{x}x_2y_3 + \hat{y}x_3y_1 + \hat{z} x_1y_2 - \left( \hat{z} x_2 y_1 + \hat{y} x_1 y_3 + \hat{x}x_3y_2\right) \\ \\ &=\hat{x}(x_2y_3 - x_3y_2) + \hat{y}(x_3y_1 - x_1y_3) + \hat{z}(x_1y_2 - x_2y_1) \end{array}

Идентичность Лагранжа

Для случая векторов из \mathbb{R}^3 можно выделить три типа «произведений»: скалярное \vec{x}\cdot\vec{y}, векторное \vec{x}\times\vec{y}, и произведение норм \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|. Эти три произведения связаны между собой через тождество Лагранжа

\|\vec{x}\times\vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2- (\vec{x}\cdot\vec{y})^2

Доказательство тождества Лагранжа

Пусть \vec{x}=(x_1,x_2,x_3) и \vec{y}=(y_1,y_2,y_3) — векторы из \mathbb{R}^3, тогда имеем:

\begin{array}{rl} \vec{x}\times\vec{y} &=(x_2y_3 - x_3y_2) \hat{x} + (x_3y_1 - x_1y_3)\hat{y} + (x_1y_2 - x_2y_1)\hat{z} \end{array}

Таким образом:

\begin{array}{rl} \|\vec{x}\times\vec{y}\|^2 &=(x_2y_3 - x_3y_2)^2 + (x_3y_1 - x_1y_3)^2 + (x_1y_2 - x_2y_1)^2 \\ \\ &= \color{green}{x_2^2y_3^2 - 2x_2x_3y_3y_2 + x_3^2y_2^2} + \cdots\\ \\ &\cdots + \color{blue}{x_3^2y_1^2 - 2x_3x_1y_1y_3 + x_1^2y_3^2} + \cdots \\ \\ &\cdots + \color{red}{x_1^2y_2^2 - 2x_1x_2y_2y_1 + x_2^2y_1^2} \end{array}

С другой стороны:

\begin{array}{rl} \|\vec{x}\|^2 \|\vec{y}\|^2 - (\vec{x}\cdot\vec{y})^2 &= (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2+y_2^2 + y_3^2) - (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3 y_3)^2 \\ \\ \\ &= {x_1^2y_1^2} + \color{red}{x_1^2y_2^2} + \color{blue}{x_1^2y_3^2} + \cdots \\ \\ &\cdots + \color{red}{x_2^2y_1^2} + {x_2^2y_2^2} + \color{green}{x_2^2y_3^2} + \cdots \\ \\ &\cdots + \color{blue}{x_3^2y_1^2} + \color{green}{x_3^2y_2^2} + {x_3^2y_3^2} + \cdots \\ \\ &\cdots - \left[ {x_1^2y_1^2} + {x_2^2y_2^2} + {x_3^2y_3^2} + \right. \cdots \\ \\ &\cdots + 2\left(\color{red}{x_1x_2y_1y_2} + \color{blue}{x_1x_3y_1y_3} + \color{green}{x_2x_3y_2y_3} \right)\left.\right] \\ \\ \\ &= \color{red}{x_1^2y_2^2 - 2x_1x_2y_2y_1 + x_2^2y_1^2} + \cdots \\ \\ & \cdots + \color{blue}{x_1^2y_3^2 - 2x_1x_3y_3y_1 + x_3^2y_1^2} + \cdots \\ \\ & \cdots + \color{green}{x_2^2y_3^2 - 2x_2x_3y_3y_2 + x_3^2y_2^2} \end{array}

В конце концов, сравнивая выражения, выделенные цветом, мы получаем то, что и требовалось доказать.

Векторное произведение и угол между векторами

Ранее мы видели, что существует тесная связь между углом между двумя векторами и результатом скалярного произведения, она выражается через соотношение \vec{x}\cdot\vec{y} = \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|\cos(\angle(\vec{x},\vec{y})). Оказывается, нечто подобное происходит и с векторным произведением, и это выражается через следующее соотношение:

\|\vec{x}\times\vec{y}\| = \|\vec{x}\|\|\vec{y}\| \sin(\angle(\vec{x},\vec{y}))

Это выражение является прямым следствием тождества Лагранжа, доказанного выше. Доказательство выглядит примерно так:

\begin{array}{rl} \|\vec{x}\times\vec{y}\|^2 &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 - (\vec{x}\cdot\vec{y})^2 \\ \\ &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 - (\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|\cos(\angle(\vec{x},\vec{y})))^2 \\ \\ &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 - \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2\cos^2(\angle(\vec{x},\vec{y})) \\ \\ &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 (1 - \cos^2(\angle(\vec{x},\vec{y}))) \\ \\ &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 \sin^2(\angle(\vec{x},\vec{y})) \end{array}

Наконец, извлекая корень, получаем:

\|\vec{x}\times\vec{y}\| = \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|\; |\sin(\angle(\vec{x},\vec{y}))|

Но напомним, что \angle(\vec{x},\vec{y})\in[0,\pi], и в этом диапазоне значений функция синуса всегда неотрицательна, так что можно убрать модуль и получить то, что и требовалось доказать.

Исходя из этого выражения, можно интуитивно понять, что результат операции \|\vec{x}\times\vec{y}\| дает площадь, образованную векторами \vec{x} и \vec{y}.