Reflexão em espelhos planos e esféricos
Resumo:
Nesta aula, revisaremos os princípios básicos da óptica geométrica, focando na reflexão em espelhos planos e esféricos. Define termos-chave como raio de luz, objeto pontual e imagem pontual. Além disso, aborda a regra dos sinais para espelhos e a relação de Descartes para calcular a posição das imagens. Também são exploradas as características de espelhos côncavos e convexos, e como afetam a formação de imagens reais e virtuais. Por fim, é introduzido o coeficiente de aumento para descrever a mudança no tamanho e na orientação da imagem em relação ao objeto original.
Objetivos de Aprendizagem
Ao final da aula, o estudante será capaz de:
- Compreender a óptica geométrica como uma simplificação da óptica eletromagnética que facilita a compreensão da formação de imagens através do uso da geometria e cálculo.
- Entender as leis de reflexão e refração e sua aplicação na formação de imagens com espelhos e lentes.
- Compreender e diferenciar conceitos-chave como raio de luz, raio projetado, objeto pontual e imagem pontual.
- Aplicar a regra dos sinais para espelhos para determinar a posição de objetos e imagens.
- Analisar a formação de imagens em espelhos planos, destacando a simetria e a natureza virtual das imagens.
Índice de Conteúdos
Ideias básicas na Óptica Geométrica
Definições
Regra dos sinais para espelhos
Espelhos planos e reflexão especular
Objeto pontual em frente a um espelho plano
Objeto estendido em frente a um espelho plano
Reflexão em Espelhos esféricos
Relação entre a posição do objeto e a imagem em um espelho esférico
Caso limite quando s\to +\infty
Reflexão de objetos estendidos em espelhos esféricos
Espelhos côncavos e convexos
O coeficiente de aumento e sua interpretação
Ideias básicas na Óptica Geométrica
A óptica geométrica é uma simplificação da óptica eletromagnética que permite entender com facilidade a formação de imagens e suas características. Através da Geometria e do Cálculo, é possível inferir as leis da refração e reflexão que permitem compreender a formação de imagens com espelhos e lentes. Nesta primeira entrega, estudaremos os conceitos básicos da óptica geométrica e a reflexão em espelhos planos e esféricos.
Para começar a abordar essas ideias e fazer inferências, definiremos alguns conceitos-chave:
Definições
| Raio de Luz | É a linha imaginária que representa a trajetória de propagação da luz. Se a fonte é um objeto pontual, então a luz emerge dele em forma de ondas (eletromagnéticas) esféricas; os raios de luz têm, em consequência, a direção do fluxo de energia ou, se preferir, a direção do vetor de Poynting. | |
| Raio projetado | Linha imaginária que representa a extensão de um raio de luz. | |
| Objeto pontual ou Fonte pontual | Ponto do espaço de onde procedem raios de luz, sejam próprios ou refletidos. O objeto pode ser pontual ou estendido; se é pontual, então não tem forma, apenas posição; se é estendido, então tem um volume finito não nulo e uma superfície que o rodeia. | |
| Imagem pontual | Lugar do espaço onde convergem os raios de luz ou os raios projetados. | |
| Reflexão | Processo em que os raios de luz mudam de direção ao incidir sobre uma superfície refletora. | |
| Refração | Processo em que os raios de luz mudam de direção e velocidade ao passar de um meio para outro. |
Regra dos sinais para espelhos
Um conceito útil para sistematizar a óptica geométrica é a regra dos sinais que é introduzida a seguir:
- Posição do objeto: Se o objeto está do lado em que a luz chega à superfície refletora, então a magnitude associada à sua posição s é um número positivo, e negativa no outro caso.
- Posição da imagem: Se a imagem está do mesmo lado em que a luz sai da superfície refletora, a magnitude associada à sua posição s^\prime será positiva, e negativa no outro caso.
Em um espelho plano, sempre se cumpre a equação s=-s^\prime.
Espelhos planos e reflexão especular
O tipo mais simples de superfície refletora é o espelho plano. Nestes, observa-se que todo raio que incide com um ângulo \theta em relação à normal do espelho é refletido com um ângulo \theta^\prime =\theta. Devido a isso, um observador que vê o raio refletido verá como se o objeto refletido estivesse atrás do espelho.
Objeto pontual em frente a um espelho plano
A imagem formada em um espelho plano é simétrica e virtual. Simétrica significa que a distância entre o objeto e o espelho é a mesma que há entre a imagem e o espelho, e virtual significa que a imagem está “atrás do espelho”.
Objeto estendido em frente a um espelho plano
Se um observador ignorasse a existência do objeto estendido e do espelho, ao receber os raios refletidos os interpretaria como se saíssem da imagem, como se a imagem fosse um objeto real.
Reflexão em Espelhos esféricos
Relação entre a posição do objeto e a imagem em um espelho esférico
Consideremos um espelho esférico com um raio de curvatura r. Se colocarmos um objeto a uma distância s do vértice, então aparecerá uma imagem no ponto s^\prime, como mostrado na figura:
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é \pi[rad], temos que:
\begin{array}{lr} \phi + \theta + \pi - \beta =\pi\; &\Longrightarrow {\beta = \phi + \theta}\\ \\ \alpha + \theta + \pi - \phi =\pi\; &\Longrightarrow {\theta = \phi - \alpha} \end{array}
A partir disso, deduzimos que \beta = 2\phi - \alpha e, portanto
\color{blue}{\alpha + \beta = 2\phi}.
Com essas informações, é possível inferir uma relação entre as posições s e s^\prime do objeto e da imagem, respectivamente. Para isso, observamos que:
\begin{array}{rl} \tan(\alpha) &\displaystyle = \frac{h}{s - \delta} \\ \\ \tan(\beta) &\displaystyle = \frac{h}{s^\prime - \delta} \\ \\ \tan(\phi) &\displaystyle = \frac{h}{s - \delta} \end{array}
Agora, se o objeto está suficientemente longe do espelho, ou o raio de curvatura é suficientemente grande, é possível assumir que os ângulos \alpha, \beta e \phi são próximos de zero e, nesse contexto, são válidas as aproximações:
\begin{array}{rl} \delta & \approx 0 \\ \\ \alpha &\displaystyle \approx \tan(\alpha) \approx \frac{h}{s} \\ \\ \beta &\displaystyle \approx \tan(\beta) \approx \frac{h}{s^\prime} \\ \\ \phi &\displaystyle \approx \tan(\phi) \approx \frac{h}{r} \end{array}
Utilizando essas aproximações sobre a equação destacada em verde, obtemos:
\displaystyle \frac{h}{s}+\frac{h}{s^\prime}\approx\frac{2h}{r}
Finalmente, simplificando os h e substituindo \displaystyle f = \frac{r}{2} temos que
\displaystyle\color{blue}{\frac{1}{s}+\frac{1}{s^\prime}\approx\frac{1}{f}}
Isso é o que se chama “relação de Descartes” para espelhos esféricos de pouca abertura, onde o valor f corresponde ao foco da lente.
Caso limite quando s\to+\infty
Se calculamos o valor de s^\prime e calculamos o limite quando s\to+\infty, então teremos:
\displaystyle s^\prime = \frac{1}{\frac{1}{f}-\frac{1}{s}} =\frac{sf}{s-f}
\displaystyle\lim_{s\to +\infty}s^\prime = \lim_{s\to +\infty}\frac{sf}{s-f}=f
Em outras palavras, se colocarmos a fonte muito longe, então o raio que sai dela e chega ao espelho seguirá uma trajetória praticamente horizontal e, ao se refletir no espelho, passará pelo foco, como mostrado na figura:
Reflexão de objetos estendidos em espelhos esféricos
Os resultados que revisamos até agora nos permitirão encontrar geometricamente o local onde se formará a imagem de um objeto quando a luz que ele emite ou reflete se reflete em um espelho esférico. Para isso, basta notar que todos os raios horizontais se refletem passando pelo foco, que todos os raios que passam pelo foco se refletem horizontalmente e que localmente (no ponto em que o raio colide com o espelho esférico) o espelho se comporta como um espelho plano, então o ângulo de incidência será igual ao refletido.
Cada ponto do objeto estendido emite raios de luz que, após serem refletidos pelo espelho, se intersectam no ponto correspondente da imagem.
Espelhos côncavos e convexos
Os espelhos esféricos que revisamos até agora são todos exemplos de espelhos côncavos. Estes são aqueles em que a curvatura está do lado de onde vêm os raios de luz. No caso em que a curvatura está orientada para o lado oposto, diz-se que o espelho é convexo. Quando se analisa geometricamente a formação de imagens neste tipo de espelho, a primeira coisa que se nota é que os raios refletidos, em vez de convergir para um ponto, se dispersam; para encontrar o lugar onde a imagem se forma, é necessário, em consequência, projetar os raios refletidos, obtendo assim uma imagem virtual.
Neste ponto, devemos ter em mente os seguintes termos:
- Imagem real: é quando a imagem é formada pelos raios refletidos e, portanto, está em frente ao espelho.
- Imagem virtual: é quando a imagem é formada pelos raios projetados e, portanto, “está atrás do espelho”.
O coeficiente de aumento e sua interpretação
Como vimos nas figuras anteriores, quando há reflexão em espelhos esféricos, côncavos ou convexos, a imagem pode mudar de tamanho ou orientação em relação ao objeto original. Então surge a pergunta: Existe uma forma de modelar esse aumento ou diminuição e mudança de orientação da imagem? A resposta é sim, e isso é deduzido a partir de relações de semelhança de triângulos em qualquer uma das figuras que já revisamos. A seguir, será mostrado o cálculo para um espelho côncavo, para espelhos convexos o raciocínio é análogo. Para seguir adequadamente cada passo, lembre-se de ter em mente as regras dos sinais para espelhos que vimos no início.
Como os triângulos azul e verde são semelhantes, temos que o coeficiente de aumento m=y^\prime/y que nos diz quanto a imagem refletida aumenta em relação ao tamanho do objeto original, pode ser calculado através da relação:
\displaystyle \frac{y}{s} = \frac{-y^\prime}{s^\prime}
Aqui o y^\prime vem acompanhado de um sinal negativo porque a imagem está orientada para baixo (está invertida), e pela regra dos sinais para espelhos, s e s^\prime são ambos positivos. Em consequência, teremos que:
\displaystyle \color{blue}{m=\frac{y^\prime}{y} = - \frac{s^\prime}{s}}
Ou seja, conhecendo as posições do objeto e da imagem, é possível calcular o coeficiente de aumento do espelho.
Esta fórmula pode ser combinada com a relação de Descartes para calcular o coeficiente de aumento a partir do foco e da posição do objeto. Basta lembrar que
\displaystyle s^\prime=\frac{sf}{s-f}.
e teremos:
\displaystyle \color{blue}{m= - \frac{1}{s}\frac{sf}{s-f} = \frac{f}{f-s}}
A partir disso, temos que:
- Se |m|\lt 1, a imagem se contrai; quando |m|\gt 1, a imagem se expande; e quando |m|=1, preserva seu tamanho.
- Se m\gt 0, a imagem mantém a orientação do objeto original; e quando m\lt 0, a imagem é invertida em relação ao objeto original.
- A imagem se reduz a um ponto quando m=0.