Espelhos Planos, Problemas Resolvidos
Resumo:
Nesta aula, revisaremos alguns problemas resolvidos de espelhos planos. O ângulo de reflexão \gamma é determinado com base no ângulo \theta entre dois espelhos planos unidos por uma dobradiça, e exemplos específicos são calculados. Valores críticos de \alpha são examinados para que o raio reflita uma vez em cada espelho e a fórmula para \gamma é validada. Além disso, são identificados ângulos de incidência que fazem com que o raio retorne sobre si mesmo, calculando uma sequência de ângulos de retorno \alpha_n = n\theta.
Objetivos de Aprendizagem
Ao final desta aula, o aluno será capaz de:
- Compreender as fórmulas fundamentais da óptica de espelhos planos.
- Aplicar a lei da reflexão em problemas com espelhos planos.
- Determinar o ângulo de reflexão \gamma com base no ângulo \theta entre dois espelhos planos.
- Analisar os limites das fórmulas para espelhos e suas condições de validade.
ÍNDICE DE CONTEÚDOS
Introdução
Espelhos Unidos por uma Dobradiça
Examinando os Limites do Raciocínio
Ângulos de Retorno
Introdução
Na aula anterior, revisamos a maioria das fórmulas relacionadas à óptica dos espelhos planos e esféricos; no entanto, para uma melhor compreensão desses tópicos, é necessário revisar como eles aparecem na resolução de problemas associados a esses tópicos. Portanto, dedicaremos esta parte exclusivamente para revisar a solução de alguns problemas. Desta vez, focaremos exclusivamente em espelhos planos.
Espelhos Unidos por uma Dobradiça
Dois espelhos planos unidos por uma extremidade formam um ângulo \theta. Se um raio de luz incidir em um dos espelhos com um ângulo \alpha em relação à normal, de modo que a luz reflita apenas uma vez em cada espelho e se intercepte formando um ângulo \gamma:
- Encontre uma fórmula para determinar o ângulo \gamma em termos dos outros dados.
- Se o raio de luz incidir no primeiro espelho com um ângulo \alpha=30^o e o ângulo entre os espelhos for \theta=50^o, qual será o ângulo \gamma?
- Definindo o ângulo \beta entre a normal do segundo espelho e o raio de luz refletido do primeiro espelho, e usando a lei da reflexão em espelhos planos, podemos completar a figura da seguinte maneira:
Tendo isso em mente, agora é possível realizar o seguinte raciocínio:(1) (90^o - \alpha) + (90^o - \beta) + \theta = 180^o ; Porque a soma dos ângulos interiores de um triângulo é 180^o \equiv \alpha + \beta = \theta (2) 2\alpha +2\beta + \gamma = 180 ; Porque a soma dos ângulos interiores de um triângulo é 180^o \equiv \gamma = 180 - 2(\alpha + \beta) (3) \color{blue}{\gamma = 180 - 2\theta} ; De (1,2) Portanto, infere-se que o ângulo \gamma será apenas uma função do ângulo \theta formado pelos espelhos, e sua fórmula será \gamma(\theta) = 180^0 - 2\theta
- Com base no raciocínio na parte anterior, temos que \gamma = 180^o - 2\cdot 50^o = 80^o
Examinando os Limites do Raciocínio
O exercício anterior tem um delicado problema. Se observar o enunciado, verá que se exige que o raio de luz deve refletir apenas uma vez em cada espelho; no entanto, nem qualquer valor de \alpha serve para que isso aconteça. Encontre os valores de \alpha que satisfazem tal condição e assim permitem que a fórmula obtida no exercício anterior tenha validade.
Temos que \alpha atinge o valor “crítico” quando faz com que \beta=0^o; e quando isso acontece, podemos tomar um ângulo x que permite o seguinte raciocínio:
Devem ocorrer as seguintes duas equações:
\alpha + x = 90^o
\theta + x = 90^o
E isso só é possível se:
\alpha = \theta
Ou seja: o valor \alpha=\theta é o valor do ângulo de incidência crítico, tal que, se for superado, então o raio refletirá mais de duas vezes em um espelho e, consequentemente, invalidará a fórmula obtida no exercício anterior. Com base nesses resultados, podemos corrigir o resultado do exercício anterior escrevendo:
\gamma(\theta, \alpha) = 180^0 - 2\theta \;\;\;\; ; \;\;\;\; \alpha \in ]0,\theta[
Ângulos de Retorno
A partir desses resultados, podemos ver que, para certos ângulos de incidência, o raio de luz retorna sobre si mesmo. Isso ocorre quando \alpha = 0^o ou quando \alpha = \theta, onde \theta é o ângulo formado entre os dois espelhos planos. Haverá mais ângulos de retorno?; e se houver, como eles podem ser calculados?
SOLUÇÃOPara resolver esse problema, devemos imaginar a situação que ocorre quando o raio de luz incide no primeiro espelho com um ângulo em relação à normal \alpha\in ]\theta, 180^o[. Quando isso acontece, temos uma situação como a mostrada na figura a seguir:
Como a soma dos ângulos interiores de um triângulo é 180^o:
(90^o - \alpha) + (90^o + \beta) + \theta = 180
Simplificando essa relação, podemos obter o ângulo \beta em termos de \alpha e \theta.
\beta=\alpha - \theta
Essa expressão é importante porque, se \beta=\theta, então, pelo raciocínio do exercício anterior, o raio deve retornar sobre si mesmo na próxima reflexão. Portanto, \alpha=2\theta. Portanto, esse raciocínio pode ser estendido de forma indutiva através de:
- \alpha_0 = 0^o
- \alpha_1 = \theta
- \alpha_{n-1} = \alpha_n - \theta
E, a partir disso, temos a sequência de ângulos de retorno:
- \alpha_0 = 0^o
- \alpha_1 = \theta
- \alpha_{2} = 2\theta
\vdots
- \alpha_{n} = n\theta
Além disso, devemos notar que tanto o ângulo entre os espelhos planos quanto cada um dos ângulos de incidência devem ser agudos.