O referencial inercial

Ao fazer física, sempre é possível escolher o referencial de onde os eventos serão medidos, e estes referenciais podem diferir tanto em orientação quanto em movimento relativo. Entre todos os referenciais possíveis, há uma classe especial que nos permite fazer a física como a conhecemos, estes são os referenciais inerciais. Diz-se que um referencial é inercial quando nele se satisfaz a primeira lei de Newton, que estabelece que na ausência de agentes externos, as partículas preservam seu estado de movimento e, portanto:

\displaystyle \frac{dx^2}{dt^2} = \frac{dy^2}{dt^2} = \frac{dz^2}{dt^2} = 0.

Deste fato segue-se que, na ausência de gravidade, se dois referenciais S e S^\prime são inerciais, então S^\prime só pode diferir de S em:

• Uma translação,
• Uma rotação,
• Um movimento relativo entre ambos os referenciais com velocidade constante.

O conceito de referencial inercial é fundamental para o princípio da relatividade, que estabelece que as leis da física têm a mesma forma em todos os referenciais inerciais. Este princípio aplica-se de igual forma, tanto na física newtoniana como na relatividade especial.

O princípio da relatividade na física newtoniana e na relatividade especial

As descrições newtonianas e da relatividade especial diferem em como as coordenadas de um evento, relativas a um sistema inercial, se relacionam com as de outro sistema inercial.

Consideremos dois referenciais inerciais cartesianos S e S^\prime em “configuração padrão”, ou seja, onde S^\prime se move ao longo do eixo \hat{x} de S a uma velocidade constante \vec{v}_{ss^\prime} = v_{ss^\prime_x} \hat{x} e os respectivos eixos de S e S^\prime estão alinhados e coincidem em t=t^\prime = 0.

Então, se existe uma transformação linear que relacione as coordenadas de um evento visto de S e S^\prime, então estas estão relacionadas através do seguinte sistema de equações lineares

\begin{array}{rl} t^\prime &= At + Bx,\\ x^\prime &= Dt + Ex,\\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &=z, \end{array}\;\;\;[\triangle]

onde A, B, D e E são constantes a determinar.

Simplificando as transformações entre referenciais inerciais

Essas transformações podem ser simplificadas se fizermos as seguintes observações:

• Dado que as transformações devem ser válidas para qualquer x^\prime, então temos que, se colocarmos o evento na origem de S^\prime, teremos que x^\prime = 0. Isto implica que o evento se move junto a S^\prime e sua posição em relação a S será x=v_{{ss^\prime}_x}t.

  Substituindo x=v_{{ss^\prime}_x}t. na segunda equação de [\triangle] teremos que D=-Ev_{{ss^\prime}_x}.

  De forma análoga, as transformações também se aplicam para qualquer x, portanto, se colocarmos o evento na origem de S, visto de S^\prime, a posição será x^\prime = -v_{{ss^\prime}_x}t^\prime.

  Substituindo isto na primeira e segunda equação de [\triangle] chegamos a que t^\prime=At e -v_{{ss^\prime}_x}t^\prime =Dt. Dividindo estas duas igualdades concluímos que D=-v_{{ss^\prime}_x}A.

• Assim, a única forma de conciliar os pontos anteriores é impondo que A=E,, e com isso as transformações se reduzem a:

  \begin{array}{rl} t^\prime &= At + Bx,\\ x^\prime &= A(x - v_{ss^\prime_x} t), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}\;\;\;[2]

Transformações de Lorentz e Galileu

Para o caso da física de Newton, temos a relatividade de Galileu, na qual o tempo transcorre da mesma forma para todos os referenciais inerciais e, portanto, t=t^\prime. Como consequência disso, A=1 e B=0. Isso conduz às conhecidas transformações de Galileu que permitem transformar as observações entre dois referenciais inerciais.

\begin{array}{rl} t^\prime &= t\\ x^\prime &= x - v_{ss^\prime_x} t, \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}\;\;\;[3]

Por outro lado, no caso da física relativista, temos o princípio da Relatividade de Einstein, que considera, em seu lugar, a velocidade da luz no vácuo como sendo igual em todos os referenciais inerciais. Isso conduz às conhecidas Transformações de Lorentz da relatividade especial, que como veremos em entradas posteriores, toma a seguinte forma:

\begin{array}{rl} ct^\prime &=\gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \\ x^\prime &= \gamma_x(x - \beta_x ct) \\ y^\prime &= y \\ z^\prime &= z \end{array}

onde \beta_x=v_{ss^\prime_x}/c e \gamma= 1/\sqrt{1-\beta_x^2}.

Conclusões

O Princípio da Relatividade não só revoluciona a nossa compreensão do universo, mas também desafia as nossas percepções mais fundamentais sobre o tempo e o espaço. Através da análise dos referenciais inerciais, vimos como as leis da física mantêm sua forma constante, independentemente do observador, tanto na física newtoniana quanto na relatividade especial. As transformações de Lorentz e Galileu ilustram de maneira única as diferenças sutis e profundas entre esses dois enfoques. Este princípio, que se mantém no coração da física moderna, não é apenas essencial para a compreensão teórica dos fenômenos físicos, mas também para aplicações práticas que vão desde a tecnologia de GPS até a exploração espacial. Ao desvendar as complexidades do Princípio da Relatividade, aproximamo-nos um passo mais de compreender o intricado tecido do cosmos e o nosso lugar dentro dele.