1. Introdução

O estudo das funções algébricas começa introduzindo as variáveis: símbolos que representam onde um número pode estar. Tradicionalmente, as letras x, y, z são usadas para representar números reais, enquanto em outros contextos, z é preferida para números complexos. Também é costume usar subscritos quando há muitas variáveis. Assim, x_1, x_2, \cdots , x_n também são exemplos de variáveis.

As funções algébricas são fundamentais em diversas áreas da matemática e suas aplicações. Essas funções são definidas por expressões algébricas que envolvem operações básicas como adição, subtração, multiplicação, divisão, potências e raízes de variáveis. Compreender as funções algébricas é essencial para o estudo de muitos ramos da matemática pura e aplicada, incluindo álgebra, cálculo, geometria e teoria dos números. Além disso, têm importância crucial na física, engenharia, economia e ciências sociais, pois permitem modelar e analisar fenômenos reais de maneira precisa e eficiente.

No campo educacional, as funções algébricas servem como uma base sólida para o desenvolvimento do pensamento abstrato e habilidades de resolução de problemas. Através do estudo dessas funções, os estudantes aprendem a manipular expressões algébricas e a entender as relações entre variáveis, o que é fundamental para avançar em matemática mais complexa.

Na vida cotidiana, as funções algébricas são usadas em uma variedade de contextos práticos. Por exemplo, são aplicadas na gestão financeira para calcular juros e amortizações, na informática para desenvolver algoritmos e na engenharia para projetar estruturas e sistemas. As funções algébricas também são essenciais na análise de dados e modelagem estatística, ajudando a interpretar e prever comportamentos com base em dados observados.

Em resumo, o estudo das funções algébricas não é apenas uma pedra angular da matemática, mas também tem uma ampla gama de aplicações práticas que destacam sua relevância e utilidade no mundo moderno. Com uma compreensão sólida dessas funções, problemas complexos podem ser abordados e soluções inovadoras podem ser desenvolvidas em diversos campos.

2. O que são Funções Algébricas?

As funções algébricas são um tipo especial de função. Uma função é uma lei de correspondência entre dois conjuntos que representamos através da notação:

f: A\longmapsto B

Onde A é o conjunto de entrada e B é o conjunto de saída.

Toda função f também tem um domínio (Dom(f)) e uma imagem (Rec(f)). O domínio é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função produz um resultado válido, e a imagem é o conjunto de todas as saídas possíveis da função. A imagem também é chamada de Imagem, e o domínio é chamado de pré-imagem. Ao definir uma função, às vezes é costume escrevê-la de qualquer uma das duas formas a seguir:

f: Dom(f)\subseteq A\longmapsto Rec(f)\subseteq B

f: Dom(f)\longmapsto Rec(f)

Assim, as funções algébricas são aquelas escritas em termos das operações algébricas de suas variáveis, como adição, subtração, multiplicação, divisão, potência e raiz principal. Além disso, diz-se que uma função é de variável real se suas variáveis forem substituídas por números reais, de variável complexa se forem substituídas por números complexos, e assim por diante com qualquer outro conjunto numérico. Também se fala de funções de uma, duas, três ou múltiplas variáveis, dependendo de terem uma, duas, três ou muitas variáveis.

2.1. Exemplos de Funções Algébricas

1. Consideremos a seguinte função

   \begin{matrix} f : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & f(x) =x^3 + 5x + \displaystyle \frac{6}{\sqrt{x}} \\ \end{matrix}

   Esta é uma função algébrica de uma variável real. Aqui podemos ver diretamente que

   Dom(f) = \{x\in\mathbb{R}\;|\; x\gt 0\} = ]0, +\infty[

   Isso ocorre porque não há divisões por zero e porque a raiz principal só está bem definida para números reais positivos.

2. Agora vamos revisar a seguinte função

   \begin{matrix} f : & \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & (x,y) & \longmapsto & f(x,y) =\displaystyle \frac{2xy + \frac{3}{x^2}}{\sqrt[3]{y-1}} \\ \end{matrix}

   Esta é uma função de duas variáveis reais que resulta em um número real. Isso também é conhecido como campo escalar. Esse tipo de função está além do escopo deste curso, mas é muito útil na física para descrever quantidades como temperatura ou distribuições de densidade. O domínio dessa função também pode ser visto “a olho nu”.

   Dom(f) = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;|\; x \neq 0 \wedge y\neq 1 \}

2.2. Comentários sobre o Gráfico e a Imagem

Determinar a imagem geralmente é complicado. Posteriormente veremos técnicas que nos permitirão fazer isso facilmente, mesmo em casos em que pareceria impossível alcançar algebricamente. No entanto, mesmo com esses métodos, haverá problemas porque às vezes são necessárias técnicas que vão além do escopo deste curso, como o cálculo de pontos críticos para identificar máximos e mínimos no cálculo diferencial. No entanto, mesmo sem o cálculo, há muito que pode ser feito, e essas coisas serão abordadas em seu devido tempo.

Se você ainda estiver interessado em conhecer a imagem e o gráfico dessas funções, sempre pode recorrer ao Wolfram Alpha. Vá para https://www.wolframalpha.com/ e tente copiar e colar isto:

x^3 + 5x + \dfrac{6}{\sqrt{x}}

para ter uma ideia de como seria o primeiro exemplo. Para o segundo, copie e cole isto:

\dfrac{2xy + \dfrac{3}{x^2}}{\sqrt[3]{y-1}}

3. Outros Tipos de Funções

As funções que estudamos neste curso podem ser divididas em dois tipos: Funções Algébricas e Funções Transcendentais. As funções algébricas, como vimos, são aquelas que são escritas em termos das operações fundamentais, enquanto as funções transcendentais não podem ser escritas dessa maneira ou requerem expressões compostas de operações infinitas. As funções algébricas podem ser ainda divididas em dois tipos: funções polinomiais e não polinomiais. Uma função polinomial é qualquer função que pode ser escrita como a soma ou diferença de potências. Algo assim:

\displaystyle P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n

Qualquer função que não seja dessa forma é não-polinomial. Entre as funções não-polinomiais, destacam-se as funções racionais, que são aquelas que podem ser escritas como o quociente entre duas funções polinomiais.