Domínios de Integridade e os Números Inteiros

Resumo:
Nesta aula, é introduzido o conceito de Domínio de Integridade, explicada sua relevância no estudo da álgebra geral e demonstradas, por meio de provas formais, algumas de suas propriedades mais importantes.

Objetivos de Aprendizagem:
Ao concluir esta aula, o estudante será capaz de:

1. Compreender o propósito do estudo da álgebra geral.
2. Compreender o conceito de domínio de integridade.
3. Explicar os aspectos básicos comuns entre os domínios de integridade e os números inteiros.
4. Demonstrar por meio de provas formais as propriedades básicas dos domínios de integridade.

ÍNDICE DE CONTEÚDOS
O OBJETIVO DA ÁLGEBRA GERAL E CONHECIMENTOS PRÉVIOS
DOS NÚMEROS INTEIROS AOS DOMÍNIOS DE INTEGRIDADE
ASPECTOS BÁSICOS COMUNS AOS DOMÍNIOS DE INTEGRIDADE E AOS NÚMEROS INTEIROS
PROPRIEDADES DOS DOMÍNIOS DE INTEGRIDADE E DOS NÚMEROS INTEIROS
EXERCÍCIOS

O objetivo da álgebra geral e conhecimentos prévios

O objetivo principal da álgebra geral é o estudo de toda a variedade de sistemas matemáticos possíveis. Aqui estudaremos vários desses sistemas, e entre os mais importantes destacam-se os números naturais e inteiros, e através destes últimos chegaremos aos domínios de integridade.

\mathbb{N}= \{1,2,3,4,\cdots\}

\mathbb{Z}= \{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\cdots\}

Dos números inteiros aos domínios de integridade

Começaremos nosso estudo com os números inteiros, e a razão para proceder dessa maneira é que eles possuem a maior quantidade de semelhanças com a maioria dos sistemas numéricos que analisaremos neste estudo.

Em vez de tentar definir o que são os números inteiros, iniciaremos supondo que, seja o que for, eles satisfazem certas propriedades. Para isso, escolhe-se um conjunto de axiomas de modo que seja possível inferir todas as propriedades que intuitivamente associamos aos inteiros.

Todas essas definições são feitas por meio dos axiomas de Peano dos Naturais, ao introduzir as operações básicas da aritmética. Seguindo esse método axiomático e ampliando as diferentes operações sobre os naturais e inteiros, obtemos novos conjuntos numéricos, como os racionais, irracionais, reais, complexos, quaterniões, octoniões, e muitos outros.

Depois, ao observarmos os números inteiros, veremos que eles possuem propriedades que se repetem em todos os demais conjuntos numéricos, como a existência de um elemento neutro multiplicativo, um elemento neutro aditivo e leis distributivas. Assim, ao nos referirmos a essas propriedades, podemos estabelecer uma linguagem que nos permita falar sobre todos esses conjuntos simultaneamente. É nesse contexto que surgem termos como:

• Domínio de Integridade
• Anel
• Grupo
• Espaço Vetorial

E uma longa lista de outros termos desse tipo. Nós concentraremos nossos esforços no estudo dos Domínios de Integridade.

Aspectos básicos comuns aos domínios de integridade e aos números inteiros

Para explicar o que é um domínio de integridade utilizaremos as propriedades que compreendemos muito bem a partir dos números inteiros. Nesse contexto, temos que, se a, b e c são números inteiros, então são válidas as leis

1. Comutativas:
   • a+b = b + a
   • ab = ba
2. Associativas:
   • a+(b+c) = a+b+c = (a+b)+c
   • (ab)c = abc = a(bc)
3. Distributivas:
   • a+(b+c) = a(b+c) = ab+ac

Além disso, existem certos elementos especiais conhecidos como neutros:

• Neutro aditivo: a+ c = a \leftrightarrow c=0
• Neutro multiplicativo: ac = a \leftrightarrow c=1

O objeto cujo símbolo é 0 é o neutro aditivo, e aquele que corresponde ao símbolo 1 é o neutro multiplicativo.

Os inteiros também possuem inversos aditivos. A cada número inteiro corresponde um inverso aditivo que, ao ser somado com ele, resulta no neutro aditivo.

• Inverso aditivo: a+ c = 0 \longleftrightarrow c=-a

Os inversos aditivos são reconhecidos pelo sinal “-” que os acompanha.

Finalmente, existe uma lei de simplificação que é expressa pela relação

(c\neq 0 \wedge ca = cb) \longleftrightarrow (a=b)

Essas propriedades que revisamos são válidas para muitos outros conjuntos: reais, complexos, polinômios, etc. Dessa forma, chamamos de Domínio de Integridade todos os conjuntos que satisfazem essas propriedades.

DEFINIÇÃO: Um Domínio de Integridade é qualquer conjunto D provido de uma operação de soma e produto tais que

• a,b\in D \longrightarrow a+b \in D
• a,b\in D \longrightarrow ab \in D

E além disso, satisfazem-se as leis associativas, comutativas e distributiva, D contém neutros aditivos e multiplicativos (cada um deles é único) e, finalmente, vale a lei de simplificação.

Exemplo de Domínio de Integridade

Consideremos o conjunto A=\{a+b\sqrt{3}\; |\; a,b\in \mathbb{Z}\}. Este conjunto, munido das operações usuais de soma e produto, é um domínio de integridade porque satisfaz as leis de comutatividade, associatividade e distributividade, possui neutro aditivo e multiplicativo, e, finalmente, um inverso aditivo.

• Neutro aditivo: 0+0\sqrt{3}
• Neutro multiplicativo: 1+0\sqrt{3}
• Inverso aditivo: Todo elemento a+b\sqrt{3} tem inverso aditivo -a-b\sqrt{3}

E o mais importante de tudo. Este conjunto A é fechado para as operações de soma e produto, no sentido de que, se tomamos x,y\in A, então teremos que x+y\in A e xy\in A. Isso é fácil de verificar: Se a_1 + b_1\sqrt{3} e a_2 + b_2\sqrt{3} são elementos de A, então teremos que

\begin{array}{rl} (a_1 + b_1\sqrt{3}) + (a_2 + b_2\sqrt{3}) &=(a_1+a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{3} \in A\\ \\ (a_1 + b_1\sqrt{3}) (a_2 + b_2\sqrt{3}) &= a_1a_2 + a_1b_2\sqrt{3}+b_1a_2\sqrt{3} + 3b_1b_2 \\ &=(a_1a_2 + 3b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)\sqrt{3} \in A \end{array}

Propriedades dos Domínios de Integridade e dos Números Inteiros

O neutro aditivo de um domínio de integridade é único

Isso pode ser demonstrado por redução ao absurdo: Suponhamos que existam dois neutros aditivos, sejam 0 e 0^\prime tais neutros. Então teremos que:

\begin{array}{rll} (1) & 0\neq 0^\prime & \text{; Premissa}\\ (2) & a+0 = a & \text{; Premissa: $0$ é neutro aditivo}\\ (3) & b+0^\prime = b & \text{; Premissa: $0^\prime$ é neutro aditivo}\\ (4) & 0^\prime + 0 = 0^\prime & \text{; Substituindo $a=0^\prime$ em $(2)$}\\ (5) & 0 + 0^\prime = 0 & \text{; Substituindo $b=0$ em $(3)$}\\ (6) & 0 = 0^\prime & \text{; De$(4,5)$ e comutatividade da soma}\\ (7) & \bot &\text{; De$(1,6)$} \end{array}

A partir desse raciocínio, concluímos que, portanto:

\{0 \neq 0^\prime, a + 0 = a, b + 0^\prime = b\}\vdash \bot.

Logo, por redução ao absurdo, temos

\{a + 0 = a, b + 0^\prime = b\}\vdash 0 = 0^\prime.

Ou seja, se há dois neutros aditivos, então eles são o mesmo, e, portanto, é único.

O neutro multiplicativo também é único

A demonstração é praticamente análoga à anterior. Se existissem dois: 1 e 1^\prime, então poderíamos fazer o seguinte raciocínio:

\begin{array}{rll} (1) & 1\neq 1^\prime & \text{; Premissa}\\ (2) & 1\cdot a = a & \text{; Premissa: $1$ é neutro multiplicativo}\\ (3) & 1^\prime \cdot b = b & \text{; Premissa: $1^\prime$ é neutro multiplicativo}\\ (4) & 1\cdot 1^\prime = 1^\prime & \text{; Substituindo $a=1^\prime$ em $(2)$}\\ (5) & 1^\prime \cdot 1 = 1 & \text{; Substituindo $b=1$ em $(3)$}\\ (6) & 1 = 1^\prime & \text{; De$(4,5)$ e comutatividade da multiplicação}\\ (7) & \bot &\text{; De$(1,6)$} \end{array}

Assim, concluímos que:

\{1 \neq 1^\prime, 1a= a, 1b = b\}\vdash \bot.

Logo, por redução ao absurdo, temos que

\{1a= a, 1b= b\}\vdash 1 = 1^\prime.

Ou seja, se há dois neutros multiplicativos, então eles são o mesmo, e, portanto, é único.

Vale a lei de simplificação para as somas

Isso é o que fazemos quando eliminamos termos em uma igualdade

a+b = a+c \longleftrightarrow a = c

Não é difícil demonstrar essa situação, basta seguir o seguinte raciocínio:

\begin{array}{rll} (1) & a+b = a+c & \text{; Premissa} \\ (2) & a+b-a = a+c-a & \text{; De$(1)$, somando $-a$ a ambos os lados} \\ (3) & (a-a)+b = (a-a)+c & \text{; De$(2)$, comutatividade e associatividade} \\ (4) & 0+b = 0+c & \text{; De$(3)$ e Inverso Aditivo} \\ (5) & b = c & \text{; De$(4)$ e Neutro Aditivo} \\ \end{array}

Como esse raciocínio pode ser feito de ida e volta aplicando os mesmos passos, temos que

a+b=a+c \dashv \vdash b=c

O que é equivalente a dizer que

\vdash a+b=a+c \longleftrightarrow b=c

O neutro aditivo é, por sua vez, um absorvente multiplicativo

Com isso simplesmente queremos dizer que, para todo a no domínio de integridade, será válido que

a\cdot 0 = 0

Isso também é fácil de demonstrar, basta seguir o seguinte raciocínio:

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot (a+0) & \text{; Leis distributivas}\\ (2) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot (a+a-a) & \text{; De$(1)$ e Inverso Aditivo}\\ (3) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot a + a\cdot a - a\cdot a & \text{; De$(2)$ e Distributividade}\\ (4) & a\cdot 0 = a\cdot a - a\cdot a & \text{; De$(3)$ e Simplificação de somas}\\ (5) & a\cdot 0 = 0 & \text{; De$(4)$ e Inverso Aditivo}\\ \end{array}

Lei dos sinais:

O produto de quantidades de mesmo sinal é sempre positivo; o produto de quantidades com sinais opostos é sempre negativo. A demonstração dessa propriedade também é simples:

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot b = a\cdot b + 0 & \text{; Neutro Aditivo}\\ (2) & a\cdot b = a\cdot b + (a)\cdot(-b) - (a)\cdot(-b) & \text{; De$(1)$ e Inverso Aditivo}\\ (3) & a\cdot b = a\cdot (b -b) - (a)\cdot(-b) & \text{; De$(2)$ e Inverso Aditivo}\\ (4) & a\cdot b = a\cdot 0 + (-a)\cdot(-b) & \text{; De$(3)$ e Inverso Aditivo}\\ (5) & a\cdot b = (-a)\cdot(-b) & \text{; De$(4)$ e Absorvente Multiplicativo}\\ \end{array}

Portanto: ab = (-a)(-b)

Para os sinais opostos, o raciocínio é semelhante:

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot(-b) = a \cdot (-b) + 0 & \text{; Neutro Aditivo} \\ (2) & a\cdot(-b) = a \cdot (-b) + a \cdot b - a \cdot b & \text{; De$(1)$ e Inverso Aditivo} \\ (3) & a\cdot(-b) = a \cdot (b-b) - a \cdot b & \text{; De$(2)$ e Distributividade} \\ (4) & a\cdot(-b) = a \cdot 0 - a \cdot b & \text{; De$(3)$ e Inverso Aditivo} \\ (5) & a\cdot(-b) = - a \cdot b & \text{; De$(4)$ e Absorvente Multiplicativo} \\ \end{array}

Portanto: a(-b) = -a(b)

Se o produto de dois números é zero, pelo menos um deles é zero

Outra propriedade que também é amplamente utilizada é a seguinte:

ab=0 \leftrightarrow (a=0 \vee b=0)

Sua demonstração também é simples:

\begin{array}{rll} (1) & \{a=0\} \models a\cdot b = 0 & \textbf{; Absorvente Multiplicativo} \\ (2) & \models a=0 \rightarrow a\cdot b = 0 &\text{; TD$(1)$} \\ (3) & \models \neg (a\cdot b = 0 ) \rightarrow \neg(a=0) &\text{; CPI$(2)$} \\ (4) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(a=0) &\text{; RTD$(3)$} \\ (5) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(b=0) &\text{; Análogo$(4)$} \\ (6) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(a=0) \wedge \neg(b=0) &\text{; $\wedge$-int$(4,5)$} \\ (7) & \models (\neg (a\cdot b = 0 )) \rightarrow \neg(a=0) \wedge \neg(b=0) &\text{; TD(6)} \\ (8) & \models \neg(\neg(a=0) \wedge \neg(b=0) ) \rightarrow (a\cdot b = 0 ) &\text{; CPI(7)} \\ (9) & \models (a=0 \vee b=0) \rightarrow (a\cdot b = 0 ) &\text{; DM(8)} \\ (10)& \{a\neq 0 , a\cdot b=0\} \models b=0 & \textbf{; Absorvente Multiplicativo}\\ (11)& \{a\cdot b=0\} \models a\neq 0 \rightarrow b=0 & \text{; TD(10)}\\ (12)& \{a\cdot b=0\} \models \neg(a\neq 0) \vee b=0 & \text{; $\rightarrow$-Def(11)}\\ (13)& \{a\cdot b=0\} \models a=0 \vee b=0 & \text{; DN(12)}\\ (14)& \models (a\cdot b=0) \rightarrow (a=0 \vee b=0) & \text{; TD(13)}\\ (15)& \models (a\cdot b=0) \leftrightarrow (a=0 \vee b=0) & \text{; De(9,14)} \end{array}

Exercícios

Sejam a, b e c elementos quaisquer de um domínio de integridade D. Demonstre que as seguintes propriedades são válidas:

1. (-a)=(-1)a [SOLUÇÃO]
2. -(a+b)=(-a) + (-b) [SOLUÇÃO]
3. a(-b)=-(ab) [SOLUÇÃO]
4. -(-a)=a [SOLUÇÃO]
5. a(b-c) = ab - ac [PROPOSTO]
6. (a-b)+(b-c) = a-c [PROPOSTO]
7. Para todo a\in D, existe um único 1 tal que a\cdot 1 = a [SOLUÇÃO]
8. xx = x \leftrightarrow (x=1 \vee x=0) [PROPOSTO]