Formulação das transformações de Galileu

A física de Newton se baseia no princípio da relatividade modelado através das transformações de Galileu, onde se estabelece o tempo como uma coordenada universal para todos os observadores inerciais; ou seja: t=t^\prime. Sob esta afirmação, vimos que a transformação linear que relaciona as observações de dois referenciais inerciais S e S^\prime revistos na aula sobre o princípio da relatividade tem a forma de uma transformação linear:

\begin{array}{rl} t^\prime &= At + Bx,\\ x^\prime &= Dt + Ex,\\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &=z, \end{array} [1]

assume a seguinte forma quando os referenciais inerciais S e S^\prime estão em configuração padrão e S^\prime se move com velocidade v_{ss^\prime_x}\hat{x} em relação a S

\begin{array}{rlr} {}t^\prime &= t \\ x^\prime &= x - v_{ss^\prime_x}t \\ y^\prime &= y \\ z^\prime &= z \end{array} [2]

A transformação inversa

A partir de uma espécie de simetria algébrica, podemos escrever a transformação inversa:

\begin{array}{rl} t &= t^\prime \\ x &= x^\prime + v_{ss^\prime_x}t \\ y &= y^\prime \\ z &= z^\prime \end{array} [3]

O tempo absoluto e a soma das velocidades

Da primeira equação das transformações de Galileu (qualquer uma das duas, [2] ou [3]) tem-se que a coordenada temporal de um evento não depende do referencial a partir do qual se observa, enquanto que a segunda permite obter o que usualmente se entende como “o senso comum” associado à soma de velocidades. Se uma partícula se move com velocidade constante v_{ss^\prime_x} sobre o eixo \hat{x} de S, então sua velocidade em S^\prime é determinada por

\displaystyle v^\prime_x = \frac{dx^\prime}{dt^\prime} = \frac{dx^\prime}{dt} = \frac{d}{dt}\left(x - v_{ss^\prime_x} t \right) = v_x - v_{ss^\prime_x}

Derivando nesta última expressão, mostra-se que a aceleração de uma partícula qualquer é a mesma em S e em S^\prime, ou seja: dv^\prime_x/dt^\prime = dv_x/dt.

Geometria Galileana do espaço e do tempo

Se considerarmos dois eventos A e B que têm coordenadas (t_A,x_A,y_A,z_A) e (t_B,x_B,y_B,z_B), respectivamente. É fácil ver que as quantidades \Delta t = t_B - t_A e \Delta r^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 são separadamente invariantes sob as transformações de Galileu, isso nos leva a considerar o espaço e o tempo como entidades separadas. Por outro lado, \Delta r^2 sugere que isso é uma propriedade geométrica do próprio espaço. Reconhecemos \Delta r^2 como o quadrado da distância entre os eventos no espaço euclidiano. Isso define a geometria do espaço e do tempo no contexto da mecânica de Newton.

A Relatividade de Galileu e as Leis Físicas

Aplicada à Dinâmica de Newton

No trecho anterior, vimos que, no contexto da física newtoniana, dois referenciais inerciais distintos sempre observarão as mesmas acelerações. Isto, juntamente com a segunda lei de Newton, implica que todos os referenciais inerciais observarão sempre a mesma dinâmica. Ou seja:

\displaystyle F_x = m\frac{dv_x}{dt}= m\frac{dv^\prime_x}{dt^\prime} = F^\prime_x.

Esta última expressão nos diz que a física não muda ao realizar transformações de Galileu, o que é equivalente a dizer que: a física é a mesma para todos os observadores inerciais.

Aplicada à Propagação de Ondas

Embora essa persistência da física diante das mudanças de observadores inerciais seja algo esperado, primeiro porque é o que observamos ao nos mover, e segundo porque é o que foi obtido através dos cálculos anteriores, a verdade é que nem sempre se cumpre dessa maneira. O caso mais notável de um fenômeno que não se preserva sob transformações de Galileu é o caso da propagação de ondas; em geral, a equação que modela a propagação de uma onda \psi no espaço e no tempo é da forma

\displaystyle \nabla^2 \psi = \frac{1}{v_0^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} [4]

onde v_0 é a velocidade de propagação da onda.

Qual o efeito da transformação de Galileu sobre a propagação das ondas?

Para isso, existe uma resposta curta e uma longa. A resposta curta é que “mesmo observando o mesmo fenômeno, observadores inerciais diferentes verão ‘uma física’ diferente”. A resposta longa consiste em ver como muda a equação de propagação da onda quando se aplica a transformação de Galileu; para fazer isso, primeiro tomamos a equação [4] e a expandimos sobre cada uma de suas coordenadas obtendo:

\displaystyle \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 \psi}{\partial z^2} = \frac{1}{v_0^2} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial t^2}. [5]

Com esta equação em mãos, agora devemos usar as equações de [3], para reexpressar as derivadas no outro referencial inercial.

Transformação das Primeiras Derivadas

Seguindo as expressões de [3] e derivando cada variável em relação às variáveis primadas, obtemos:

\displaystyle \frac{\partial x^\prime}{\partial x} = \frac{\partial y^\prime}{\partial y}= \frac{\partial z^\prime}{\partial z}= \frac{\partial t^\prime}{\partial t}= 1

\displaystyle \frac{\partial x^\prime}{\partial t} = - v_{x_0}

Enquanto todas as outras se anulam:

\displaystyle \frac{\partial t^\prime}{\partial x} = \frac{\partial t^\prime}{\partial y} = \frac{\partial t^\prime}{\partial z} = \frac{\partial x^\prime}{\partial y} = \frac{\partial x^\prime}{\partial z} = \frac{\partial y^\prime}{\partial x} = \frac{\partial y^\prime}{\partial z} = \frac{\partial y^\prime}{\partial t} = \frac{\partial z^\prime}{\partial x} = \frac{\partial z^\prime}{\partial y} = \frac{\partial z^\prime}{\partial t} = 0

Com isso em mãos, agora podemos calcular as derivadas de \psi através da regra da cadeia:

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} \underbrace{\frac{\partial x^\prime}{\partial x}}_{=1} + \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime} \underbrace{\frac{\partial y^\prime}{\partial x}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime} \underbrace{\frac{\partial z^\prime}{\partial x}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \underbrace{\frac{\partial t^\prime}{\partial x}}_{=0} = \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime}.

E de forma análoga se terá para as outras duas variáveis espaciais:

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime}.

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial z} = \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime}.

No entanto, a derivada temporal apresentará algumas diferenças:

\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial t} &= \displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial x^\prime}\underbrace{\frac{\partial x^\prime}{\partial t}}_{=-v_{x_0}} + \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime}\underbrace{\frac{\partial y^\prime}{\partial t}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime}\underbrace{\frac{\partial z^\prime}{\partial t}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime}\underbrace{\frac{\partial t^\prime}{\partial t}}_{=1}\\ &=\displaystyle -v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime}, \end{array}

Transformação das Segundas Derivadas

Para a parte espacial, poderemos continuar sem grandes dificuldades, os resultados são:

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2}. [6]

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {y^\prime}^2} [7]

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {z^\prime}^2} [8]

Mas a parte temporal, como já poderíamos antecipar desde as primeiras derivadas, mostra grandes diferenças:

\begin{array}{rl} \displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} &=\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\left( -v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right)\\ & \displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} \right) + \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right)\\ &\displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial x^\prime} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + \frac{\partial }{\partial t^\prime} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t} \right)\\ &\displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial x^\prime} \left(-v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right) + \frac{\partial }{\partial t^\prime} \left(-v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right) \end{array}

\displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = v_{x_0}^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} - 2v_{x_0}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^\prime \partial t^\prime} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {t^\prime}^2}. [9]

Aplicando as transformações de Galileu sobre a propagação das ondas

Deste modo, é possível realizar a transformação de Galileu sobre a equação de propagação da onda substituindo as equações [6,7,8] e [9] sobre [5], resultando em:

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {y^\prime}^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {z^\prime}^2} = \frac{1}{v_0^2} \left(\color{red}{ v_{x_0}^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} - 2v_{x_0}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^\prime \partial t^\prime}} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {t^\prime}^2} \right). [10]

Onde se observa que a forma da propagação das ondas não se mantém sob transformações de Galileu devido ao surgimento dos termos adicionais marcados em vermelho. Embora isto por agora não tenha grandes consequências, em aulas posteriores veremos que isto é justamente o ponto que “rompe”, por assim dizer, com a física clássica, dando passagem à relatividade especial.