Recapitulatio Transformationum Lorentz

In relativitate speciali, reicitur idea temporis absoluti. Pro ea statuitur velocitatem lucis, c, constantem esse in omnibus systematibus inertialibus. Hic mutatus, cum principio relativitatis coniunctus, nos ad Transformationes Lorentz perducit. Hae transformationes conectunt coordinatas unius eventus observati ex duobus diversis systematibus inertialibus. Hoc argumentum diligenter exploratur in lectione de Transformationibus Lorentz in Relativitate Speciali.

Consideratis systematibus inertialibus S et S^\prime in configuratione normali, ubi axes et origines coincidunt in t=t^\prime =0, et photonem emissum in t=t^\prime = 0 ab origine, coordinatae spatii et temporis photonis in unoquoque systemate debent satisfacere aequationi:

c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2 = c^2{t^\prime}^2 - {x^\prime}^2 - {y^\prime}^2 - {z^\prime}^2 = 0.

Ex hac aequatione et principio relativitatis derivamus notas Transformationes Lorentz:

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x), \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}

Ubi \beta_{ss^\prime_x} =v_{ss^\prime_x}/c est impulsus velocitatis acquisitus a S^\prime movente respectu S cum velocitate v_{ss^\prime_x}, et \gamma_{ss^\prime_x} = 1/\sqrt{1-\beta_{ss^\prime_x}^2} est factor Lorentz associatus. Haec transformatio Lorentz in directione \hat{x} simplicior fit ad transformationem Galilaeanam cum v_{ss^\prime_x} \ll c.

Similiter ac transformationes Galilaeanae, exstat symmetria quae sinit transformationem inversam facile computari, simpliciter terminos commutando et attendendo quod \beta_{ss^\prime_x} = -\beta_{s^\prime s_x}:

\begin{array}{rl} ct &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct^\prime + \beta_{ss^\prime_x} x^\prime),\\ x &= \gamma_{ss^\prime_x}(x^\prime + \beta_{ss^\prime_x} ct^\prime),\\ y &= y^\prime, \\ z &= z^\prime. \end{array}

Spatium-Tempus Minkowski

Transformationes Lorentz ostendunt coordinatas spatii et temporis intrinsece inter se conexas esse. Haec relatio maxime claret in symmetria inter ct et x. Consideratis duobus eventibus, A et B, cum coordinatis (ct_A, x_A, y_A, z_A) et (ct_B, x_B, y_B, z_B). In systemate S, definitur distantia quadratica hoc modo:

\begin{array}{rl} \Delta s^2 &= c^2(t_B - t_A)^2 - (x_B - x_A)^2 - (y_B - y_A)^2 - (z_B - z_A)^2 \\ \\ &= c^2\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2 \\ \\ &= c^2\Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2) \end{array}

Distantia spatii-temporis, \Delta s, scribitur ut \Delta s = \sqrt{c^2\Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2)}. Hic, \Delta t repraesentat longitudinem temporalem et \Delta r = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2} est longitudo spatialis.

Spatium-Tempus Minkowski, quod hac notione distantiae spatii-temporis \Delta s definitur, fundamentale est in relativitate speciali. Id introductum est a Hermann Minkowski et distinguitur a coordinatis spatialibus et temporalibus eo quod invarium est sub Transformationibus Lorentz.

\Delta s = \Delta s^\prime

In hoc exemplari spatium et tempus in continuum quattuor-dimensionale componuntur. Diversum a geometria euclidiana, geometria spatii-temporis Minkowski est pseudo-euclidiana propter signa negativa in componentibus spatialibus. Nihilominus, pro tempore t constante, geometria spatialis Minkowski euclidiana manet.

Quid fit longitudinibus spatii, temporis et spatii-temporis sub Transformationibus Lorentz?

Ut supra dictum est, longitudines spatii-temporis \Delta s invariabiles sunt sub Transformationibus Lorentz, sed praeter hoc etiam habetur quod longitudines temporis et spatii, separatim, mutantur sub his transformationibus. Quod nunc faciemus est demonstratio gradatim horum factorum.

Primum, recordemur eventus A et B initio consideratos cum suis coordinatis spatio-temporalibus respectu systematis S:

• Eventus A: (ct_A,x_A, y_A, z_A)
• Eventus B: (ct_B,x_B, y_B, z_B)

Ad hos processus utemur, sine iactura generalitatis, Transformationibus Lorentz pro systematibus S et S^\prime in configuratione normali ubi S^\prime movetur cum velocitate \vec{v}_{ss^\prime_x}= v_{ss^\prime_x} \hat{x} = \beta_{ss^\prime_x}c \hat{x} respectu S

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x), \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}

Expositio pro longitudinibus puri temporis

Ponamus eventus A et B, observatos ex systemate S, separari solum tempore, sicut ictus horologii. Hoc in casu, tempus inter ictus computabitur hoc modo:

c\Delta t = c(t_B - t_A)

Altera parte, separatio temporalis inter eundem par eventuum observatorum ex S^\prime erit:

c\Delta t^\prime = c(t^\prime_B - t^\prime_A)

Hae separationes temporales inter se coniunguntur per Transformationes Lorentz hoc modo:

\begin{array}{rl} c\Delta t^\prime &= c(t^\prime_B - t^\prime_A) \\ \\ &= ct^\prime_B - ct^\prime_A \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B) - \gamma_{ss^\prime_x}(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A) \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}c \Delta t - \gamma_{ss^\prime_x} \beta_{ss^\prime_x} \Delta x \end{array}

Nunc, cum eventus A et B solum tempore separantur pro observatore in S, habemus \Delta x = 0. Ergo:

\boxed{\Delta t^\prime = \gamma_{ss^\prime_x} \Delta t}

Praecipuum est animadvertere quod:

\gamma_{ss^\prime_x} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^2_{ss^\prime_x}}} \in [1, +\infty[

Hoc fit quia \beta^2_{ss^\prime_x} = \dfrac{v^2_{ss^\prime_x}}{c^2} \in [0,1[.

Simpliciter dicendo, si observator in S mensurat intervallum temporis \Delta t sicut ictum horologii, observator in S^\prime metietur idem intervallum ut \gamma_{ss^\prime_x} \Delta t, quod maius vel aequale est \Delta t. Hic effectus, qui vocatur dilatatio temporis, ostendit quomodo tempus extendatur inter observatores inertiales qui experiuntur impulsum velocitatis \beta_{ss^\prime_x}. Ergo, cursus temporis non idem est omnibus observatoribus inertialibus, demonstrans longitudines temporis non invariabiles esse sub Transformationibus Lorentz.

Expositio pro Longitudinibus Puri Spatii

Ponamus eventus A et B separari solum in spatio, sicut extrema regulae. Assumimus, sine iactura generalitatis, hanc regulam secundum axem \hat{x} systematis S esse directam. Tunc habebimus:

\Delta x = x_B - x_A

Visa ex S^\prime, haec separatio spatialis erit:

\Delta x^\prime = x^\prime_B - x^\prime_A

Applicando Transformationes Lorentz, possumus constituere relationem inter utrasque observationes:

\begin{array}{rl} \Delta x^\prime &= x^\prime_B - x^\prime_A \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime}(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B) - \gamma_{ss^\prime}(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A) \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime} \Delta x - \gamma_{ss^\prime}\beta_{ss^\prime_x} c \Delta t \end{array}

Cum eventus A et B sint simultanei pro S, sequitur \Delta t = 0, atque ideo:

\boxed{\Delta x^\prime = \gamma_{ss^\prime} \Delta x}

Exempli gratia, si regulam longitudinis l_0 ponamus intra plaustrum traminis (observator S^\prime), quod movetur respectu nostri (observator S), et regula secundum directionem motus ordinata est, longitudo observata erit:

\begin{array}{rl} & l_0 = \gamma_{ss^\prime} l \\ \\ \equiv & l = \dfrac{l_0}{\gamma_{ss^\prime}} \leq l_0. \end{array}

Hoc significat nos percepturos longitudinem regulae quasi brevior esset quam revera est. Hic phaenomenon notum est ut contractio Lorentz et demonstrat intervalla spatii non conservari sub Transformationibus Lorentz.

Expositio pro Longitudinibus Spatii-Temporis

Postquam perspeximus quomodo transformantur longitudines puri spatii et puri temporis, nunc examinemus mores longitudinum spatii-temporis sub Transformationibus Lorentz. Recordemur longitudinem spatii-temporis, observatam ab observatore S^\prime pro duobus eventibus A et B, exprimi hoc modo:

\begin{array}{rl} \Delta s^{\prime 2} &= {c^2\Delta t^{\prime 2} - (\Delta x^{\prime 2} + \Delta y^{\prime 2} + \Delta z^{\prime 2})} \end{array}

Deinde videbimus quomodo hae longitudines se habeant post applicationem Transformationum Lorentz, in casu quo S^\prime habeat impulsum velocitatis \beta_{ss^\prime_x} respectu S.

\color{black} \begin{array}{rl} \Delta s^{\prime 2} &= (\gamma_{ss^\prime_x}c \Delta t - \gamma_{ss^\prime_x} \beta_{ss^\prime_x} \Delta x)^2 - \left[(\gamma_{ss^\prime_x} \Delta x - \gamma_{ss^\prime_x}\beta_{ss^\prime_x} c \Delta t)^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 \right] \\ \\ &= \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2 c^2 \Delta t^2\color{black} - \cancel{2\gamma_{ss^\prime_x}^2c\beta_{ss^\prime_x}\Delta x\Delta t} + \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2\beta_{ss^\prime_x}^2 \Delta x^2\color{black} + \cdots \\ \\ &\cdots - \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2\Delta x^2\color{black} + \cancel{2\gamma_{ss^\prime_x}^2c\beta_{ss^\prime_x}\Delta x \Delta t} - \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2\beta_{ss^\prime_x}^2c^2\Delta t^2\color{black} - \Delta y^2 - \Delta z^2 \\ \\ & = \color{blue}(1-\beta_{ss^\prime_x}^2) \gamma_{ss^\prime_x}^2 c^2 \Delta t^2 \color{black} - \color{red}(1-\beta_{ss^\prime_x}^2)\gamma_{ss^\prime_x}^2\Delta x^2\color{black} - \Delta y^2 - \Delta z^2 \end{array}

Denique, animadvertentes \gamma_{ss^\prime_x}^{-2} = 1-\beta_{ss^\prime_x}^2, habetur

\Delta s^{\prime 2} = c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2 = \Delta s^2

His igitur demonstravimus quod, dissimiliter a longitudinibus puri temporis et puri spatii, longitudines spatii-temporis constantes manent sub Transformationibus Lorentz.