Quid est sigma-algebra? Definitio et exempla

Summarium
In hac lectione tractatur momentum sigma-algebrae in theoria probabilitatis. Sigma-algebra est structura quae omnes eventus mensurabiles spatii exemplaris continet, permittens definire mensuram probabilitatis. Per exempla practica, ut iactus nummorum et tempus vitae machinae electronicae, explicatur quomodo sigma-algebra ex partibus spatii exemplaris construatur. Item exhibetur sigma-algebra Borelliana, spatio exemplari continuo associata, et explicantur eius eventus borelliani.

PROPOSITA DISCENDI:
His peractis, discipulus poterit:

Intelligere definitionem et proprietates Sigma-Algebrae, tamquam structurae mathematicae quae permittit definire mensuram probabilitatis.
Identificare elementa quae Sigma-Algebra componunt eiusque relationem cum eventibus mensurabilibus spatii exemplaris.

INDEX CONTENTORUM
DEFINITIO SIGMA-ALGEBRAE
SIGMA-ALGEBRA IN IACTIBUS NUMMORUM
SIGMA-ALGEBRAE IN CASIBUS CONTINUIS

Eventus mensurabiles in spatio probabilitatum per sigma-algebram apparent. Per hanc notionem, conceptus initio intuitivus in structuram formaliter mathematicam mutatur, quae permittet definire mensuram probabilitatis.

Definitio Sigma-Algebrae

Sigma-Algebra $\Sigma$ (sive σ-algebra) est structura quae omnes eventus mensurabiles spatii exemplaris continet. Dicitur par $\Sigma_{\Omega} = (\Omega, \mathcal{A}_{\Omega})$ σ-algebra spatii exemplaris $\Omega$ esse, si impletur:

$\emptyset,\Omega \in \mathcal{A}_\Omega$
$\left(E \in \mathcal{A}_\Omega \right) \rightarrow (E^c = \Omega\setminus E \in \mathcal{A}_\Omega)$
$\left(E_1, E_2 \in \mathcal{A}_\Omega \right) \rightarrow (E_1 \cup E_2 \in \mathcal{A}_\Omega)$

Omnia obiecta $E\in\mathcal{A}_\Omega$ vocantur Eventus $\Omega$ .

Sigma-algebra in iactibus nummorum

EXEMPLUM 1

Pro iactu unius nummi, σ-algebra datur per

\Sigma_{1m}=(\Omega_{1m}, \mathcal{A}_{1m})

, ubi

$\Omega_{1m}= \{C,S\}$
$\mathcal{A}_{1m}= \{\emptyset,\{C\},\{S\}, \Omega_{1m}\}$

Quisque elementum $\mathcal{A}_{1m}$ est eventus qui sic identificatur:

$\emptyset$ “Nec caput nec signum cadit” (eventus impossibilis est).
$\{C\}$ “Eventus est quo caput exit”.
$\{S\}$ “Eventus est quo signum exit”.
$\Omega_{1m}= \{C,S\}$ “Cadit alterutrum, sive caput sive signum” (eventus certus est).

EXEMPLUM 2

Si pro una, duos nummos iaciamus, σ-algebra possibilis

\Sigma_{2m}=(\Omega_{2m}, \mathcal{A}_{2m})

obtineri potest ex partibus

\Omega_{2m}

. Hoc modo habemus:

$\Omega_{2m}= \{(C,C);(C,S); (S,C); (S,S)\}$
$\mathcal{A}_{2m}=\mathcal{P}(\Omega_{2m}) = \cdots$ $\cdots = \{\emptyset; \{(C,C)\}; \left\{(C,S)\}; \{(S,C)\}; \{(S,S)\}; \cdots \right.$ $\cdots; \{(C,C);(C,S)\};\{(C,C);(S,C)\};\{(C,C);(S,S)\};\cdots$ $\cdots; \{(C,S);(S,C)\};\{(C,S);(S,S)\};\{(S,C);(S,S)\};\cdots$ $\cdots; \{(C,C);(C,S);(S,C)\};\{(C,C);(C,S);(S,S)\}\cdots$ $\left.\cdots; \{(C,C);(S,C);(S,S)\}; \{(C,S);(S,C);(S,S)\}; \Omega_{2m}\right\}$

Quisque elementum $\mathcal{A}_{2m}$ est eventus $\Omega_{2m}$ . Infra nonnulli eorum nominantur:

$\emptyset$ “Nullus exitus habetur” (eventus impossibilis est).
$\{(C,C)\}$ “Bis caput continuo cadit”.
$\{(C,S)\}$ “Primum caput, deinde signum exit”.
$\vdots$
$\{(C,C);(C,S)\}$ “Primum est caput, secundum quidlibet”.
$\{(C,C);(S,C)\}$ “Primum quidlibet est, secundum autem caput”.
$\{(C,C);(S,S)\}$ “Uterque iactus eundem exitum dat”.
$\vdots$
$\{(C,C);(C,S);(S,S)\}$ “Si primum est signum, secundum quoque signum est; aliter secundum quidlibet est”.
$\{(C,C);(S,C);(S,S)\}$ “Si primum est caput, secundum quoque caput est; aliter secundum quidlibet est”.
$\vdots$
$\Omega_{2m}$ “Quilibet exitus possibilis obtinetur” (eventus certus).

Sigma-algebrae in casibus continuis

EXEMPLUM 3

Pro tempore vitae (horis mensurato) instrumenti electronici quod quovis momento laedi potest, σ-algebra

\Sigma_e = (\Omega_e, \mathcal{A}_e)

dabitur per

$\Omega_e = [0, \infty[$
$\mathcal{A}_e = \{I \; | \; I \subseteq \Omega_e \}$

Ita intervalla $I_t = ]0,t[\in\mathcal{A}_e$ interpretari possunt ut “instrumentum electronicum recte operatur per intervallum $t$ horarum continuatarum usque dum corrumpitur”.

Sigma-algebra probabilitatum spatio exemplari continuo associata etiam σ-algebra Borelliana appellatur, eiusque eventus borelliani vocantur.

Quid est sigma-algebra? Definitiones et Exempla

Quid est sigma-algebra? Definitio et exempla

Definitio Sigma-Algebrae

Sigma-algebra in iactibus nummorum

Sigma-algebrae in casibus continuis

Leave a Reply