Microstatus et macrostatus in Thermodynamica

In hac lectione disces distinguere microstatus et macrostatus in thermodynamica, explorans quomodo configurationes microscopicae systematis proprietates eius macroscopicas determinant. Per exempla concreta, ut calculus combinatoriarum in systematibus cum multiplicibus statibus possibilibus, intelleges notiones clavis quae microscopicum cum observabili conectunt. Cognosce quomodo hae ideae fundamentaliae sint ad interpretandum comportamentum systematum thermalium complexorum atque novam perspicientiam de principiis quae materiam regunt evolvas.

Proposita Discendi:
Ad finem huius lectionis discipulus poterit

1. Distinguere inter microstatum et macrostatum, definitiones earum et applicationes in thermodynamica intellegens.
2. Classificare microstatus in macrostatus secundum qualitates communes et numerum eorum per combinatoriam computare.
3. Explicare quomodo aequiprobabilitas microstatuum probabilitatem macrostatuum in systematibus thermodynamicis determinet.
4. Referre proprietates microscopicas systematis ad proprietates eius macroscopicas ut pressio, volumen et energia.
5. Analysare systemata thermica per exempla practica, eminens momentum microstatuum et macrostatuum.

INDEX CONTENTORUM:
Distinctio inter microstatum et macrostatum in thermodynamica
Qualitates macrostatuum in thermodynamica

Distinctio inter microstatum et macrostatum in thermodynamica

Distinctio summae momenti in thermodynamica est illa quae implicat differentiam inter microstatum et macrostatum. Generaliter dicitur microstatus pertinere ad aspectus microscopicos materiae, dum macrostatus tractat de totalitate systematis ex multis micro-systematibus compositi. Quamvis talis distinctio adiuvet ad dirigendum cogitationem ad primam approximationem harum notionum, per se sola non comprehendit essentiam significationis microstati et macrostati.

Ut notionum horum accuratiorem ideam habeamus, consideremus exemplum sequens

Microstatus et macrostatus cum nummis

Imagina te habere cistam cum 100 nummis, quae omni tempore clausa manet. Si vehementer hanc cistam concutias, nummi in eius interiori saltabunt et cadent in aliquam positionem: caput vel caudam. Totum systema consequenter habet multitudinem statuum possibilium in quos decidere potest: 2^{100} in summa (conare aestimare ordinem magnitudinis illius numeri!), et per statum intelligimus varias configurationes capitum et caudarum quae evenire possent. Assumitur unamquamque harum configurationum aequaliter probabilem esse, unde unaquaeque harum probabilitatem 1/2^{100} habet eveniendi.

Quaevis configuratio particularis est microstatus

Dicemus quamlibet configurationem particularem microstatum huius systematis esse. Exempli gratia, primus nummus cadit caput, secundus caudam, tertius caput, et sic porro… Ad microstatum agnoscendum, necesse est unumquemque nummum singulariter agnoscere, quod in praxi aliquid grave est.

Macrostatus est familia omnium microstatuum qui qualitatem communem habent

Hoc loco, pro singulos microstatus investigando, viam capere possumus ad microstatus possibiles in familiam cum qualitate communi ordinandos: qui unum caput habent, qui duo capita habent, qui tria capita habent, etc… Numeros combinatorios considerantes ad id perveniemus quod microstatus qui habent

• • 0 capita et 100 caudas sunt: \displaystyle{{100}\choose{0}} = \frac{100!}{(100 - 0)! 0!} = 1 status in summa
  • 1 caput et 99 caudas sunt: \displaystyle {{100}\choose{1}} = \frac{100!}{(100 - 1)! 1!}= \frac{100!}{99!} = 100 status in summa
  • 2 capita et 98 caudas sunt: \displaystyle {{100}\choose{2}} = \frac{100!}{(100 - 2)! 2!}= \frac{100!}{98!2!} = \frac{99\cdot 100}{2} = 99 \cdot 50 = 4950 status in summa

\vdots

• • 49 capita et 51 caudas sunt: \displaystyle{{100}\choose{49}} = \frac{100!}{(100 - 49)! 49!}= \frac{100!}{51!49!}\approx 9.89\cdot 10^{28} status in summa
  • 50 capita et 50 caudas sunt: \displaystyle{{100}\choose{50}} = \frac{100!}{(100 - 50)! 50!}= \frac{100!}{50!50!}\approx 10^{29} status in summa
  • 51 capita et 49 caudas sunt: \displaystyle{{100}\choose{51}} = \frac{100!}{(100 - 51)! 51!}= \frac{100!}{49!51!}\approx 9.89\cdot 10^{28} status in summa
  • 52 capita et 48 caudas sunt: \displaystyle{{100}\choose{52}} = \frac{100!}{(100 - 52)! 52!}= \frac{100!}{48!52!}\approx 9.32\cdot 10^{28} status in summa

\vdots

• • 70 capita et 30 caudas sunt: \displaystyle{{100}\choose{70}} = \frac{100!}{(100 - 70)! 70!}= \frac{100!}{30!70!}\approx 2.93\cdot 10^{25} status in summa

\vdots

• 100 capita et 0 caudas sunt: \displaystyle{{100}\choose{100}} = \frac{100!}{(100 - 100)! 100!}= \frac{100!}{0!100!} = 1 status in summa

Itaque, macrostatus “0 capita” unum microstatum continet, macrostatus “1 caput” 100 microstatus continet, macrostatus “2 capita” 4950 microstatus habet et sic porro.

Qualitates macrostatuum in thermodynamica

Generatim, macrostatus constat ex magno numero microstatuum aequaliter probabilium.

Quamquam microstatus omnes aequiprobabiles sunt, macrostatus generaliter non sunt. Probabilitas macrostati proportionalis est numero microstatuum quos continet. Macrostatus probabilissimus est is qui maximum numerum microstatuum habet.

Systemata thermica se gerunt modo valde simili exemplo quod modo recensuimus. Ad microstatum in systemate thermodynamico specificandum necesse est indicare magnitudines quae certam configurationem systematis ad gradum microscopicum definiunt: esse potest positio, velocitas vel energia atomorum qui systema componunt.

In praxi impossibile est unumquemque microstatum systematis metiri. Contra, macrostatus tantum describi possunt in terminis proprietatum macroscopicorum systematis, ut pressio, energia totalis vel volumen. Configuratio macroscopica systematis 2[m^3] voluminis sub pressione 35[kPa] posita, multis configurationibus microscopicis coniungi potest.