Introductio

Limites laterales oriuntur cum de limitibus agitur qui solum ex sinistra vel dextra exsistere possunt, non autem ex utraque parte simul. Illi quos hactenus studuimus sunt quidem huius postremi generis: ut limen functionis f cum x\to x_0 existat, necesse est ut f bene definita sit ex utraque parte puncti x_0; quodsi hoc non contingat, tum definitio limitis non valebit. Cum hae condiciones saepe occurrant, oportet modum inveniendi ad eas tractandas. Hoc per definitionem formalem solvitur.

Notio Intuitiva Limitum Lateralium et Bilateralium

Ut limen functionis exsistat f, cum x\to x_0, necesse est ut functio bene definita sit ex utraque parte puncti x_0. Si hoc evenit, de limite bilaterali agitur. Et si praeterea tale limen valorem L habeat, tunc recte scribere possumus

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = L

Iam fingamus hanc functionem ita redefinire ut eius dominium tantummodo valores maiores quam x_0 includat. Si hoc facimus, animadvertimus limen iam non exsistere (quia erunt valores x quibus sensus deest); nihilominus, graphice adhuc dicere possumus quod, cum x\to x_0, f(x) adhuc tendit ad L. Notio intuitiva quam hic producimus est limen laterale ex dextra, quod ita repraesentatur

\displaystyle \lim_{x\to x_0^+}f(x) = L

et similiter habebimus limen ex sinistra parte

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x) = L

Denique, limen bilaterale exsistet dummodo limites laterales exsistant atque aequales sint

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0}f(x) = \lim_{x\to x_0^-}f(x)

Definitio Formata Limitum Lateralium

Ad limites laterales formaliter definiendos sufficit parvam mutationem in definitione originali limitis adhibere.

\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L := \left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. 0\lt|x-x_0|\lt\delta \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

Pro limitibus lateralibus ex dextra definitio sic exprimetur:

\left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

Pro limitibus lateralibus ex sinistra erit:

\left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

Conditiones pro Algebra Limitum

Quod admirandum est de his definitionibus habendis, est quod ambae comprehenduntur simul in definitione limitis communis, quod grave est quia nos liberat ab onere iterum probandi omnes proprietates quas iam de limitibus bilateralibus ostendimus. Tota algebra limitum operabitur sicut in lectionibus prioribus vidimus, dummodo limites de eadem natura sint (ambo ex sinistra, vel ambo ex dextra, numquam confusi), eundem punctum spectent et in illo puncto exsistant.

Exercitia Proposita et Soluta

1. \displaystyle \lim_{x\to {\frac{1}{2}}^- } \sqrt{\dfrac{x+2}{x+1}} [SOLUTIO]
2. \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}} [SOLUTIO]
3. \displaystyle \lim_{x\to 2^+} \left(\dfrac{x}{x+1} \right) \left(\dfrac{2x+5}{x^2+x} \right) [SOLUTIO]
4. \displaystyle \lim_{x\to 1^-} \left(\dfrac{1}{x+1} \right) \left(\dfrac{x+6}{x} \right) \left(\dfrac{3-x}{x} \right) [SOLUTIO]
5. \displaystyle \lim_{h\to 0^+ } \dfrac{\sqrt{h^2 + 4h +5} - \sqrt{5}}{h} [SOLUTIO]
6. \displaystyle \lim_{h\to 0^-} \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5h^2 + 11h +6}}{h} [SOLUTIO]

7. a. \displaystyle \lim_{x\to -2^+} (x+3)\dfrac{|x+2|}{x+2}

   b. \displaystyle \lim_{x\to -2^-} (x+3)\dfrac{|x+2|}{x+2}

   [SOLUTIO]

8. a. \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \dfrac{\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|}

   b. \displaystyle \lim_{x\to 1^-}\dfrac{\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|}

   [SOLUTIO]