Hoc tempore non solum recognoscemus Limites Infinitos, sed etiam limites divergentes in universum. Limites divergentes nobis indicant quomodo functio non videatur confluere, idque multis modis accidere potest.

Quando dicimus limitem esse divergentem?

Dicimus limitem esse divergentem cum ad aliquem valorem realem non confluere. Hoc, quod tam manifestum sonat, variis modis contingere potest:

• Cum limites laterales diversi vel inexistentes sunt, limites bilaterales non existunt.
• Si functio bene definita non est, sine termino crescit aut infinite oscillat dum appropinquat puncto ubi limes computatur, tunc limes lateralis exsistere non potest.

Hoc applicari potest, cum propriis proprietatibus, tam ad limites finitos quam ad limites ad infinitum, atque secundum casum aliquem genus divergentiae habebimus.

Genera Divergentiae in Limitibus

Limites cum Problematis Dominii

Cum conamur computare limitem huius formae \lim_{x\to x_0}f(x) vel \lim_{x\to +\infty}f(x), exspectamus ut saltem f(x) bene definitus sit pro valoribus prope x_0 vel pro aliquo intervallo huius formae [a,+\infty[, respective. Si tale non eveniat, tum nulla ex duabus definitionibus limitum sensum habere possit; functio ad aliquem valorem “tendere” non potest si appropinquat per locum ubi ne quidem definita est. In talibus casibus simpliciter scribimus limitem non exsistere: \lim_{x\to x_0}f(x)=\cancel{\exists} et \lim_{x\to +\infty}f(x)=\cancel{\exists}, prout convenit. Similiter fit cum limitibus lateralibus nec amplius quidquam dicendum est de hoc genere situationum.

Limites Laterales Dispares

Consideremus functionem huius formae f(x) = x/|x| et computemus limitem cum x\to 0. Primum quod animadvertimus erit

\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x) = 1

\displaystyle\lim_{x\to 0^-} f(x) = -1

In tali casu animadvertimus quod, quamquam limites laterales exsistunt, hi tamen diversi sunt. Cum hoc contingit simpliciter dicimus limitem (bilateralem) non confluere atque ideo:

\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = \cancel{\exists}

Limes Functionum Infinite Oscillantium

Exstat etiam casus in quo functiones, loco ut ad certum valorem appropinquent, incipiunt oscillare intra determinatum intervallum. Exemplum huiusmodi est functio huius formae f(x)= \sin(1/x). Si inspiciamus quid fiat huic functioni cum x\to 0 videbimus eam infinite oscillare.

Cum talia eveniunt, dicemus limitem simpliciter non exsistere.

Limites Infiniti

Videamus quid accidat functioni f(x) = 1/x. Primum quod videbimus est quod, cum x\to 0, valor f(x) sine termino crescit, sed modus quo id fiet pendebit unde limes computetur. Intuitive scribemus

\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty

\displaystyle\lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty

Hac scriptura non dicimus limitem aliquo modo exsistere, sed potius significamus modum quo hic limes non exsistit. Differt hoc a casibus superioribus, ubi limes non exsistit quia ad certum valorem non confluet; in hoc autem casu divergitur quia magnitudo eius ultra omnem numerum realem procedit.

Hoc quod modo recognovimus formalizari potest per sequentis definitiones:

\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \rightarrow M \lt f(x) )

\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \rightarrow M \lt f(x) )

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = +\infty := \left(\lim_{x\to x_0^+}f(x) = +\infty \right) \wedge \left(\lim_{x\to x_0^-}f(x) = +\infty \right)

Et similiter:

\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) = -\infty := \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \rightarrow f(x) \lt m )

\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) = -\infty := \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \rightarrow f(x) \lt m )

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = -\infty := \left(\lim_{x\to x_0^+}f(x) = -\infty \right) \wedge \left(\lim_{x\to x_0^-}f(x) = -\infty \right)

Interdum etiam dicitur de limite qui tendit ad infinitum (sine signo)

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = \infty := \lim_{x\to x_0}|f(x)| = +\infty

Limites Infiniti ad infinitum

Similiter ac cum limitibus antea recognitis, possibile est definire limites infinitos ad infinitum. Exempli gratia:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists N \in\mathbb{R} \right) ( N\lt x \rightarrow M \lt f(x) )

His visis iam omnes formas contemplati sumus quibus limites functionum divergere possunt.