Lex Coulombii et Vis Electrostatica

“Lex Coulombii et Vis Electrostatica” non solum intellegentiam nostram de viribus electricis auxit, sed etiam narrationes inopinatas genuit. Benjamin Franklin, in experimento quo pavonem electricitate sternere et coquere conatus est, ipse subiectum probationis factus est: displosio eum perturbavit et capillos erexit, quasi lineas campi electrici in vita ostendens. Nunc autem nostrum est tempus vires electricas investigare.

Proposita discendi:
Ad finem huius lectionis discipulus poterit

Modellari phaenomena electrica utens principio superpositionis ad vim resultantem in onere probando computandam.
Simplificare studium virium electricarum ad casum electrostaticum restringendo.
Applicare Legem Coulombii ad vim inter duo onera in variis condicionibus determinandam.
Analyzare systemata circa fontem oneris posita per formulam simplificatam Legis Coulombii.
Solvere problemata practica ad distributiones onerum pertinentia.

INDEX CONTENTORUM:
Principium superpositionis
Simplificatio electrostatica
Lex Coulombii
Lex Coulombii pro systematibus circa fontem onerum
Exercitia

Nunc tempus est haec phaenomena mathematicis modis exprimere atque ad hoc introducemus Legem Coulombii. Sed antea necesse est nonnulla explicare, haec sunt: Principium superpositionis et simplificatio electrostatica.

Principium superpositionis

Problema fundamentale electrodynamicae est determinare vim quam “nubes” onerum electricorum $q_1$ , $q_2$ , $\cdots$ exercent super onus probationis $q_0$ , cum positio uniuscuiusque earum functio temporis nota sit. Generaliter tam fontes onerum quam onus probationis in motu relativo sunt.

Solutio huius problematis per principium superpositionis facilior fit, quod nobis dicit interactionem oneris probationis cum aliqua fonte omnino independentem esse ab interactione cum ceteris fontibus onerum. Hoc significat semper possibile esse determinare vim $\vec{F}_1$ quam confert onus $q_1$ , vim $\vec{F}_2$ quam confert $q_2$ et sic deinceps, ut tandem addamus et vim totam obtineamus

$\vec{F}_{tot} = \displaystyle \sum_{i}\vec{F}_i$

Simplificatio electrostatica

Si tantum vires addendae sunt, aliquis dicere posset satis esse indicare aequationem quae vim describit quam unaquaeque fons oneris exercet super onus probationis et quaestionem solutam fore; tamen res non tam simplex est. Quaestio est quod vis non solum a distantia et magnitudine onerum pendet, sed etiam a velocitate et acceleratione relativa uniuscuiusque particulae. Praeterea “informatio electrica” de mutationibus positionis, velocitatis et accelerationis cuiusque particulae celeritate lucis propagatur, unde certo tempore ad onus probationis pervenit et effectum suum mutat.

Itaque, ut studium nostrum nunc simplificemus, nos ad casum electrostaticum restringemus, id est: omnes fontes onerum stabiles manebunt, solum onus probationis moveri poterit; et hoc in contextu Lex Coulombii emergit.

Lex Coulombii

Ponamus nos habere onus probationis $q_0$ . cum positione $\vec{r}$ et fontem oneris $q$ cum positione $\vec{r}^\prime$ . Quae erit vis $\vec{F}_{q \to q_0}(\vec{r})$ fontis oneris super onus probationis? Responsio huius quaestionis datur per Legem Coulombii, quae formula exprimitur:

$\vec{F}_{q \to q_0} (\vec{r}) =\displaystyle \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime \|^2} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|}$

Lex Coulombii non solum legem signorum pro vi electrostatica comprehendit, sed etiam statuit vim inter onera electrica inverse proportionalem esse quadrato distantiae quae ea separat.

Constans $\epsilon_0$ appellatur constans permissivitatis electricae vacui. Valor eius in systemate internationali est

$\displaystyle \epsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \left[ \frac{C^2}{N\cdot m^2}\right]$

Lex Coulombii pro systematibus circa fontem onerum

Lex Coulombii simplicius exprimi potest si spectatorem super fontem onerum ponamus, id est: faciendo $\vec{r}^\prime = \vec{0}$ . Hoc modo habebitur

$\displaystyle \vec{F}_{q \to q_0} (\vec{r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r}\|^2} \frac{\vec{r} }{\|\vec{r} \|} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r}\|^2} \hat{r}$

Ubi $\hat{r}=\vec{r}/\|\vec{r}\|$ est vector unitarius qui a fonte ad onus probationis dirigi solet.

Exercitia

Duodecim onera punctalia aequalis magnitudinis $q$ in angulis polygonii regularis duodecim laterum ponuntur (sicut numeri horologii). Quae erit vis neta super onus punctale $q$ in centro positum?
Unum ex duodecim oneribus exercitii prioris removetur, ponamus illud esse quod hora duodecima esset (si ut horologium imaginamus). Quam vim sentiet nunc onus punctale $q$ ?
Extendite rationem duorum exercitiorum priorum, sed nunc ad distributionem $n$ fontium onerum dispositam super polygono regulari $n$ cum onere probationis in centro.
Tria onera punctalia habentur: $q_1=+3[nC]$ cum positione $(0;0)[mm]$ , $q_2=-5[nC]$ cum positione $(0,56;0)[mm]$ et $q_3=+7[nC]$ cum positione $(1;1)[mm]$ . Computetur vis tota super onus $q_3$ .
In axe invenitur onus $q_1 = 3[C]$ , et ad distantiam $40[mm]$ aliud onus $q_2 = 7[C]$ . Si inter haec duo onera tertium ponitur ita ut summa virium super illud sit nulla, quae erit distantia inter hoc tertium onus et alia duo?
Duae parvae sphaerae cupreae, quarum unaquaeque massam $0,040[kg]$ habet, distantia $2,0[m]$ separatae ponuntur. Considerantes massam molarem cupri esse $63,5[g/mol]$ et numerum atomicum 20, responde quaestionibus sequentibus:
1. Quot electrones habet unaquaeque sphaera?
2. Quot electrones necesse est movere ab una sphaera ad alteram ut vis attractionis inter sphaeras sit circiter $10^4[N]$ .
3. Quae fractio electronum sphaerarum id repraesentat?