Integraliae Indefinitae et Technicae Fundamentales Integrationis

In hac lectione introducuntur technicae fundamentales ad integralia indefinita simplicissima computanda, itemque proprietates operatoris integrationis. Hoc comprehendit integralia polynomalia, exponentalia, hyperbolica atque trigonometra elementaria.

Propositi Discendi:
Peracta hac lectione discipulus poterit

1. Intellegere processum integrationis indefinitae ut processum inversum derivationis.
2. Computare integralia polynommiorum et expressionum functiones exponentiales, hyperbolicas et trigonometricas continentium.
3. Adhibere proprietates integraliarum ad manipulationes algebraicas faciendas quae calculum earum faciliorem reddant.

INDEX RERUM
DE MOMENTO INTEGRALIARUM INDEFINITARUM
ANTIDERIVATAE, INTEGRALIA INDEFINITA ET FUNCTIONUM PRIMITIVAE
TECHNICAE FUNDAMENTALES INTEGRATIONIS

De momento integraliarum indefinitarum

Integralia indefinita sunt instrumentum fundamentale in calculo, latissimo usu praeditum in scientiis physicis et mathematicis. Permittunt primitivam functionis datae computare, quae vicissim adhibetur ad areas sub curvis, volumina solidorum, probabilitatum calculum et alias multas applicationes in physica, ingenieria, statistica atque oeconomia computandas. Praeterea, integralia indefinita sunt essentialia ad aequationes differentiales solvendas, unde fiunt instrumenta necessaria in plurimis scientiae technologiaeque campis.

Antiderivatae, integralia indefinita et functionum primitivae

Si functio F(x) habet derivatam f(x) in quodam intervallo I dato, dicitur F(x) esse primitiva f(x) in illo intervallo.

Notandum est, si F(x) est primitiva f(x), tunc etiam F(x) + C, ubi C est quaelibet constantia realis, est primitiva eiusdem functionis. Hoc scribitur ita:

\displaystyle \int f(x) dx = F(x) + C

Constans C est quod vocatur constans integrationis, eiusque praesentia indicat primitivam functionis non esse unicam functionem, sed familiam functionum: collectionem omnium functionum quarum derivata est f(x) in intervallo I.

Vocabula antiderivata, primitiva et integrale indefinitum sunt tres modi exprimendi eandem notionem, quibus indiscrete utimur. Summatim, integratio indefinita est processus inversus computationi derivatorum, atque ex hac idea proprietates eius fundamentales oriuntur.

Proprietates fundamentales integralium indefinitarum

Ad integralia indefinita computanda, oportet prius cognoscere quasdam proprietates fundamentales, quae directe a proprietatibus derivatorum oriuntur.

1. \displaystyle \int \dfrac{df(x)}{dx} dx = f(x) + C
   Quia integratio indefinita est processus inversus derivationis.




2. \displaystyle \int \lambda f(x) dx = \lambda \int f(x) dx
   Ubi \lambda est quaelibet constantia realis. Hoc fit quia
   

   \begin{array}{rl} {} \displaystyle \int \lambda \dfrac{d\phi(x)}{dx}dx &= \displaystyle \int \dfrac{d}{dx}\lambda \phi(x) dx \\ \\ &= \lambda \phi(x) + C_1 \\ \\ &= \lambda(\phi(x) + C_2) \\ \\ &= \lambda \displaystyle \int \frac{d\phi(x)}{dx}dx \end{array}

   Et postea, posito f(x) = \dfrac{d\phi(x)}{dx}, habemus

   \displaystyle \int \lambda f(x) dx = \lambda \int f(x)dx




3. \displaystyle \int f(x) + g(x) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx

   Hoc similiter demonstrari potest. Consideremus duas functiones \phi(x) et \psi(x) tales ut

   f(x) = \dfrac{d\phi(x)}{dx} et g(x) = \dfrac{d\psi(x)}{dx}

   Ergo habetur

   \begin{array}{rl} {} \displaystyle \int f(x) + g(x) dx &= \displaystyle \int \dfrac{d\phi(x)}{dx} + \dfrac{d\psi(x)}{dx} dx \\ \\ &= \displaystyle \int \dfrac{d}{dx} (\phi(x) + \psi(x)) dx \\ \\ &= \phi(x) + \psi(x) + C \\ \\ &= (\phi(x) + C_1) + (\psi(x) + C_2) \\ \\ &= \displaystyle \int \dfrac{d\phi(x)}{dx} dx + \int \dfrac{d\psi(x)}{dx}dx \\ \\ &= \displaystyle \int f(x) dx + \int g(x) dx \end{array}

Technicae Fundamentales Integrationis

Exstant technicae fundamentales integrationis quae sinunt nos quasdam integrales indefinitas computare ex effectibus derivationis obtentis. Per has technicas, assequi possumus haec utilia pro integratione eventa:

Integralia Functionum Polynomialium

1. \displaystyle \int 1 dx = x + C

   Quia \dfrac{d}{dx} (x + C)= 1

2. \displaystyle \int x^q dx = \dfrac{x^{q+1}}{q+1} + C, dummodo q\neq -1

   Quia \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{x^{q+1}}{q+1} + C\right) = x^q.

His effectibus et proprietatibus fundamentalibus adhibitis, sine ullo negotio possumus integrale cuiuslibet polynomii computare.

Integralia Exponentialium et Logarithmicarum

Ex notis effectibus derivatorum functionum exponentialium et logarithmicarum haec fundamentalia eventa obtinentur:

1. \displaystyle \int e^{x}dx = e^{x} + C

   Quia \dfrac{d}{dx}\left(e^x + C\right) = e^x

2. \displaystyle \int \dfrac{1}{x} dx = ln|x| + C

   Quia \dfrac{d}{dx}\left(ln|x| + C \right) = \dfrac{1}{|x|} sig(x) = \dfrac{1}{x}

   Ubi sig(x) est functio signi hoc modo definita:

   sig(x) = \left\{\begin{array}{} +1 &,&0\lt x \\ -1 &,& x\lt 0 \end{array}\right.

Exitus integralium 1/x facultatem nostram ad functiones integrandas amplificat, cum iam incipere possimus integrari functiones quae ex ratione polynomiorum constant.

Integralia Functionum Hyperbolicarum Fundamentalium

Functiones hyperbolicae fundamentales sunt

\begin{array} {} sinh(x) &=& \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} \\ \\ cosh(x) &=& \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} \end{array}

Cum iam viderimus quomodo integratio functionis exponentialium fiat, nullam difficultatem habebimus in integrandis sinibus et cosinibus hyperbolicis.

Pro sinu hyperbolico calculus est fere directus:

\begin{array}{rcl} {} \displaystyle \int sinh(x) dx &=& \displaystyle \int \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}dx \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle \int e^x dx - \int e^{-x} dx \right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left(e^x + e^{-x} \right) + C = cosh(x) + C \end{array}

Et pro cosino hyperbolico, rationes sunt fere analogae:

\begin{array} {} \displaystyle \int cosh(x) dx &=& \displaystyle \int \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}dx \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle \int e^x dx + \int e^{-x} dx \right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left(e^x - e^{-x} \right) + C = sinh(x) + C \end{array}

Praeter has, multae aliae functiones hyperbolicae exstant quae integrari possunt:

\begin{array} {} tanh(x) &=& \dfrac{sinh(x)}{cosh(x)} \\ sech(x) &=& \dfrac{1}{cosh(x)} \\ {}csch(x) &=& \dfrac{1}{sinh(x)} \\ ctgh(x) &=& \dfrac{1}{tanh(x)} \end{array}

Tamen earum integratio requirit alias technicas, quas in lectionibus futuris tractabimus.

Integralia Functionum Trigonometricarum Fundamentalium

Functiones trigonometricae fundamentales sunt sin(x) et cos(x). Calculus earum integralium est fere directus ex notitia derivatorum earundem.

\begin{array} {} \displaystyle \int sin(x) dx = -cos(x) + C \\ \\ {} \displaystyle \int cos(x) dx = sen(x) + C \end{array}

Hoc fit quia

\begin{array} {} \dfrac{d}{dx}\left( sin(x) + C \right) &=& cos(x) \\ \\ {} \dfrac{d}{dx}\left( cos(x) + C \right) &=& -sin(x) \\ \\ \end{array}

Conclusio

In hac lectione integralia indefinita ab ipsis fundamentis theoreticis usque ad simplicissimas applicationes practicas exploravimus. Didicimus eas esse processum inversum derivationis, proprietates earum fundamentales agnovimus, atque technicis directis adhibitis functiones polynomiales, exponentiales, logarithmicas, hyperbolicas et trigonométricas simplices integravimus. Hae notitiae constituunt fundamentum necessarium ad problemata integrationis difficiliora in futurum tractanda, atque erunt praecipuae in studiis applicationum provectorum in physica, ingenieria et aliis scientiis. Hoc fundamento percepto, possumus technicas subtiliores in sequentibus lectionibus introducere.