Factorisatio Polynomi Quadratici et (2n)-Quadratici
Summarium:
In hac lectione accuratius perpendemus processum factorisationis polynominum quadraticorum P(x) = ax^2 + bx + c necnon polynominum (2n)-quadraticorum P(x) = ax^{2n} + bx^n + c, eos in factores simplices resolventes. Procedendi rationes mathematico modo evolventur atque exempla practica demonstrabuntur.
Proposita Discendi
- Discere factorisationem polynominum quadraticorum formae P(x) = ax^2 + bx + c.
- Derivare et uti formula quadatica x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ad radices inveniendas.
- Applicare technicas factorisationis ad polynomos (2n)-quadraticos formae P(x) = ax^{2n} + bx^n + c.
- Agnoscere condiciones necessarias ad factorisationem polynominum quadraticorum.
- Adhibere methodum complementi quadrati in processu factorisationis.
INDEX MATERIAE:
Introductio
Polynomi Quadraticus et Polynomi (2n)-Quadraticus
Factorisatio Polynomi Quadratici
Expansio ad factorisationem Polynomi Bi-Quadratici
Exempla Exercitiorum
Introductio
Discere quomodo polynomi quadratici factorisentur est primus gradus ad multarum aliarum technicarum factorisationis studium incipiendum. Quam ob rem hanc technicam penitus investigabimus eiusque usum quam longissime extendemus. Peracto hoc studio, non solum polynomos quadratcos (gradus 2) factorisare poteris, sed etiam easdem technicas adhibebis ad polynomos (2n)-quadraticos factorisandos.
Polynomi Quadraticus et Polynomi (2n)-Quadraticus
Polynomi quadraticus est polynomi gradus secundi. Ex hoc sequitur quod polynomi quadraticus est quaelibet functio formae
P(x) = ax^{2}+bx +c
ubi a,b,c\in\mathbb{R} et a\neq 0. Studium nostrum tamen non solum in factorisatione talium polynominum versabitur, sed etiam ad formam generalizatam intendemus, cuius polynomi quadraticus casus tantum particularis est. Agitur de polynomo (2n)-quadratico. Haec generalizatio omnes polynomos comprehendit qui scribi possunt forma
P(x) = ax^{2n}+bx^n +c
ubi praeterea supponimus a,b,c\in\mathbb{R} et a\neq 0, et n\in\mathbb{N} quemlibet accipimus. Exempla huius generis polynomi sunt:
- P(x) = 3x^2 -x + 1
- Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3
- R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2
- S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9
et sic generaliter.
Factorisatio Polynomi Quadratici
Ut iam vidimus, polynomi gradus 2 formam generalem habet
P(x) = ax^{2}+bx +c \;\; , \;\; a\neq 0
Factorisatio est processus quo polynomi complexus separatur in productum duorum polynominum simpliciorum. Itaque, si factorisatio fieri potest, tunc exsistunt constantes \alpha,\beta,\gamma,\delta \in\mathbb{R}, cum \alpha, \gamma \neq 0 tales ut:
| P(x) = ax^2 + bx + c | = (\alpha x + \beta)(\gamma x + \delta) |
| = \alpha \gamma \left(x +\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}\right)\left(x + \frac{\delta}{\gamma}\right) |
Cum aequalitas inter sinistram et dextram partem habeatur, sequitur ut, si una pars annuletur, altera quoque necessario annuletur. Pars dextra annullatur cum x=-\beta/\alpha aut x=-\delta/\gamma. Nunc videamus quibus valoribus pars sinistra huius aequalitatis annuletur. Habebimus quod
| ax^2 + bx + c | = 0 |
| ax^2 + bx | = -c |
| x^2 + \displaystyle \frac{b}{a}x | = - \displaystyle \frac{c}{a} |
| x^2 + \displaystyle \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} | =\displaystyle \frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a} = \frac{ab^2 - 4a^2 c}{4a^3} = \frac{b^2 - 4ac }{4a^2} |
| \left(x + \displaystyle \frac{b}{2a}\right)^2 | = \displaystyle \frac{b^2 - 4ac }{4a^2} |
| x + \displaystyle \frac{b}{2a} | = \pm \sqrt{\displaystyle \frac{b^2 - 4ac }{4a^2}} = \frac{\pm\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} |
| x | = \displaystyle \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} ✅ |
Ex hoc ratiocinio sequitur quod constantes litteris Graecis expressae in factorisatione debent (absque amissione generalitatis) sequentia requisita complere:
- \alpha\gamma = a
- \displaystyle \frac{\beta}{\alpha} = - \left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \right)
- \displaystyle \frac{\delta}{\gamma} = - \left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \right)
Quibus positis, iam habemus methodum quae sinit nos quemlibet polynomium gradus secundi factorisare. Sin autem factorisatio non sit possibilis, hoc per numerum sub radice ostendetur: si numerus negativus est, tunc factorisatio (inter numeros reales) fieri non potest. Totum hoc possumus compendiare introducendo signa notationis huiusmodi:
- x_1 =\displaystyle \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}
- x_2 =\displaystyle \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}
Quae denique in formula vetere et fidelissima comprehenduntur:
\color{blue}{x_{1,2} = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}} ✅
Unde factorisatio demum talis erit:
\color{blue}{P(x) = ax^2 +bx + c = a(x-x_1)(x - x_2)}✅
Expansio ad Factorisationem Polynomi Bi-Quadratici
Haec technica adhiberi potest etiam ad polynomium bi-quadraticum factorisandum hoc modo:
Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a(x^2)^2 + bx^2 + c =a (x^2 - x_1^2)(x^2-x_2^2)
Ubi x^2_{1,2} = \displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}. Hac ratione, nunc poteris scribere
Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a\left(x^2 - \displaystyle \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\right) \left(x^2- \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\right)
Hoc loco attendendum est, nam quae sequuntur certas habent restrictiones. Si x_1^2 numerus positivus est, tunc poteris uti regula summae et differentiae ad separandum (x^2 - x_1^2) = (x-x_1)(x + x_1); alioquin numeri imaginarii emergent, et factorisatio inter reales iam non erit possibilis. Si radices bene definitae sunt, tum scribere poteris:
\begin{array}{rl} Q(x) &= ax^4 + bx^2 + c \\ \\ & = a \left(x -\displaystyle \sqrt{\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \left(x + \displaystyle \sqrt{\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \\ \\ & \left(x- \displaystyle \sqrt{\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \left(x+ \sqrt{\displaystyle \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \end{array}
Aliter, in passo superiore sistendum erit.
Generalizatio ad Factorisationem Polynomi (2n)-Quadratici
Iam ex hoc intellegitur quo spectet methodus: ad polynomium (2n)-quadraticum factorisandum sufficit modum scribendi reformulare atque priores methodos adhibere, dummodo radices bene definitae maneant. Itaque habebimus:
R(x) = a(x^n)^{2}+b (x^n) +c = a(x^n-x_1^n)(x^n-x_2^n)
Ubi x^n_{1,2} =\displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}. Deinde ex hoc, separatio per summam et differentiam fiet, nisi numeri imaginarii occurrant.
Exercitia Exemplaria:
Nunc tuum est has technicas per exercitia experiri. Polynomi infra positi omnino fortuito electi sunt, itaque aptissimi erunt ad agnoscendas difficultates quae in factorisatione huiusmodi expressionum occurrere possunt.
Primus Cursus
Hi sunt polynomi quos in initio huius scripti ad exemplum adduximus:
- P(x) = 3x^2 -x + 1
- Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3
- R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2
- S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9
Secundus Cursus
Hi autem sunt aliqui alii paulo difficiliores:
- P(x) = 78x^2 -21x - 13
- Q(x) = 27x^4 +5x^2 - 14
- R(x) = 9x^6 +12x^3 - 16
- S(x) = -9x^8 -2 x^4 + 10
- T(x) = 5x^{12} -2 x^6 - 15