Definitio domainii, ambitus et graphii

Iam ad hoc punctum studium accuratum de functionibus linearibus, quadraticis et similibus perfecimus. Examinavimus etiam curvas sicut rectas, parabolas, ellipses et hyperbolas necnon operationes cum polynomis et functionibus algebraicis in genere. His peractis, nunc facilius erit penetrare aspectus aliquantum fundamentales circa functiones in genere, quod nunc incipiemus per introductionem notionum domainii, ambitus et graphii.

Sit f functio definita inter coniunctiones A et B

\begin{matrix}f & : & A & \longrightarrow & B \\ & & x & \longmapsto & y=f(x) \end{matrix}

Coniunctiones A et B dicuntur esse coniunctiones “input” et “output”, respective. Ex his definiuntur sequentia coniunctionum:

Dom(f) = \{x\in A\;|\; (\exists y \in B)(y=f(x))\}

Rec(f) = \{y\in B\;|\; (\exists ! x \in Dom(f))(y=f(x))\}

Graf(f) = \{(x,y)\in A\times B\;|\; x\in Dom(f) \wedge y=f(x) \}

Exemplorum Analysis

Omnia quae discere possumus de notionibus domainii, ambitus et graphii, quamvis essentia theoretica sint, intellectus eorum magis in evolutione exemplorum practicatorum consistit, quod nunc faciemus per analysin sequentium trium casuum:

Computare domainium, ambitum et graphium huius functionis: f(x) = \sqrt{1-x^2}

Incipiamus hanc analysin scribendo y=f(x). Si hoc facimus, tum obtinebimus aequationem

y = \sqrt{1-x^2}

Si hanc expressionem ad quadratum elevamus, cito ad expressionem perveniemus quae ad quaestiones iam notas nos ducit

\begin{array}{rl} & y^2 = 1-x^2 \\ \equiv & x^2 + y^2 = 1 \end{array}

Haec est aequatio circuli unitarii.

Attamen, hic cauti esse debemus, quia elevando ad quadratum “informationem addidimus”. Algebraice duo valores exstant qui conditionem “esse radicem quadratam” satisfaciunt, sed in initio huius analysis radix ut functio determinata est, et functiones tantum unum exitum admittere possunt. Agitur de radice principali. Hac de causa, propositum originale tantum ad partem superiorem circuli spectat, non ad totam figuram.

Ex hac figura manifestum est:

Dom(f) = \{x\in\mathbb{R}\;|\; |x|\leq 1\} = [-1,1]

Rec(f) = \{y\in\mathbb{R}\;|\; 0\leq y\leq 1\} = [0,1]

Graf(f) = \{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\;|\; x\in [-1,1] \wedge y=\sqrt{1-x^2}\}

Quamvis hanc analysin ex perspectiva graphica elaboraverim, fieri quoque potest hoc ex approbatione magis analytica, sufficit operationes implicatas examinare.

f(x) = \color{red}{\sqrt{{1-x^2}}}

Pars 1-x^2 bene definita est pro omnibus numeris realibus

Contra, radix quadrata tantum valores maiores aut aequales zero admittit

Ex hoc habetur:

\begin{array}{rlrl} x\in Dom(f) & \leftrightarrow & 0 &\leq 1-x^2 \\ {} & \leftrightarrow & x^2 &\leq 1 \\ & \leftrightarrow & |x| &\leq 1 \\ & \leftrightarrow & -1 &\leq x \leq 1 \\ \end{array}

Ergo:\; Dom(f) = \{x\in \mathbb{R}\;|x| \leq 1\} = [-1,1]

Methodi analytici ad ambitum determinandum plerumque difficiliores sunt; simplicissimae causae solvuntur per inventionem functionis inversae, sed antequam hanc rem plene investigemus, utile est compositionem functionum et alias causas simpliciores explorare ad firmam fundamentum constituendum. Interim, methodi graphici quos mox tractabimus, maiorem partem difficultatum circa ambitum determinandum obtegunt.

Analysis pro: g(x) =\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}

Modus ad domainium celeriter inveniendum est interrogare de valoribus x qui “functionem corrumpunt”. Manifestum est functionem corrumpi tantum si denominator ad nihilum redigitur. Id est:

\begin{array}{rl} & x^2 + 1 = 0 \\ \equiv & x^2 = -1 \\ \end{array}

Cum nullus numerus realis talem conditionem satisfacere possit, clarum est ergo

\color{blue}{Dom(g) = \mathbb{R}}

Graphium determinare est plerumque via celerior ad ambitum functionis cognoscendum; ad hoc efficiendum, divisio polynomiorum erit instrumentum utile.

Per divisionem polynomiorum obtinebimus:

y= \displaystyle\frac{x^2-1}{x^2+1} = 1 -\displaystyle\frac{2}{x^2 + 1}

Ita, functionem originalem in duas partes simpliciores separavimus, quas “partem integram” et “partem fractionariam” vocamus. Has partes separatim graphice repraesentare multo facilius est quam totam functionem uno ictu describere.

Analysis pro: h(x) =\displaystyle \frac{x - 1}{\sqrt{x+1}}

Analysis algebraica iuvabit ad domainium huius functionis cito determinandum. Sufficit animadvertere functionem bene definitam fore quoties

\begin{array}{rrl} & 0 & \lt x + 1 \\ \equiv & -1 & \lt x \\ \end{array}

Ergo patet Dom(h)=]-1,+\infty[.

Ad ambitum inveniendum expedit graphium delineare, quod simpliciter fieri potest utens tabula signorum. Functio h(x) componitur ex duabus partibus

h(x)=\displaystyle\frac{\color{green}{x-1}}{\color{red}{\sqrt{x+1}}}

Numerator annullatur in x=1; Denominator, praeterquam quod annullatur in x=-1, indeterminatus est si x\lt-1. Ex his notitiis componitur sequens tabula signorum:

Ex informatione in hac tabula exposita, nunc valde simplex est graphium functionis delineare.

Et ita, determinare domainium et ambitum nunc est res trivialis:

Dom(h)=]-1,+\infty[

Rec(h)=\mathbb{R}

Exercitium Propositum

Utens instrumentis quae modo revisimus, inveni domainium, ambitum et graphium sequentis functionis

F(x) = \displaystyle\frac{4x^3 + 6x^2 -2x + 1}{x^2-4}