Cum studemus spatia exemplorum, animadvertimus haec duo genera habere posse: discreta et continua. Cum spatium exemplorum continuum est, fieri potest definire variabiles aleatorias huius naturae atque ex his statuere distributiones discretas probabilitatis. Iam recensuimus quae ad variabiles aleatorias pertinent hic, nunc nos conferemus in distributiones discretas probabilitatis.

Notio distributionis discretae probabilitatis

Dicimus variabilem aleatoriam X distributionem discretam probabilitatis habere si exstat collectio C\subset\mathbb{R} finita vel infinita numerabilis talis ut P\left(X\in C\right)=1; hoc modo, si habemus valores x\in C tales ut p_X(x) = P(X=x), verificari potest quod si A\subset\mathbb{R}, tum:

\begin{array}{lr} (*) & P\left(X\in A\right) = \displaystyle \sum_{x\in A \cap C} p_X(x) \end{array}

Et in specie,

\begin{array}{lr} (**) & \displaystyle \sum_{x\in C} p_X(x) = 1. \end{array}

Si computamus P(X\in A) utens A=]-\infty, t], invenimus quod:

P(X\in A) = P(X\leq t) = F_X(t) = \displaystyle \sum_{x\leq t}p_X(x)

Ex hoc calculo concludimus F_X esse “scalam” cum saltibus in x\in C magnitudinis p_X(x). Functio p_X quae it ex C in [0,1] est quod appellamus functio frequentiarum. Ita distributio discreta datur per collectionem finitam vel infinitam numerabilem C\subset \mathbb{R} et functionem p_X(x)\geq 0 definitam pro quolibet x\in C quae satisfacit expressionibus (*) et (**).

Quinque distributiones discretae probabilitatis notissimae

In hoc capite pergimus studium nostrum de distributionibus discretis probabilitatis. Infra videbimus quinque distributiones discretas probabilitatis notissimas, quae exemplificabuntur ostendendo genus problematum quae adiuvare possunt solvi.

Distributio Binomialis sive Bernoulliana

Distributio binomialis, sive Bernoulliana, accipit pro variabili aleatoria numerum successuum vel defectuum (X) in n conatibus cum probabilitate singulari p. Dicitur variabile aleatoria X sequi distributionem binomialem, X\sim Bi(n,p), ergo,

\displaystyle \large P(X=k)= {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}

Distributio Poissoniana

Processus Poissoniani in duas categorias dividuntur: spatialem et temporalem. Haec distinctio oritur ex decompositione parametri \lambda:

• Casus temporalis: \lambda=f\cdot T, ubi f est frequentia et T tempus periodi.
• Casus spatiali: \lambda=\rho \cdot V, ubi \rho est densitas et V volumen exempli.

Magni momenti est extollere quod in ambobus casibus parameter \lambda debet esse sine dimensione. Etiam meminisse oportet processum Poissonianum esse casum limitem processus binomialis, unde variabile aleatoria huic processui associata etiam ad certum “numerum successuum vel defectuum” refertur. Dicitur variabile aleatoria X sequi distributionem Poissonianam, X\sim Po(\lambda), si valet quod:

\large\displaystyle P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

Distributio Geometrica

Imagina processum binomialem (ut monetam saepius iactare). Si pro numero successuum post certam conatuum quantitatem quaeras de numero conatuum quos facere debes ad primum successum obtinendum, tum aderis coram variabili aleatoria discreta cum distributione geometrica. Variabile aleatoria X habet distributionem geometricam, X\sim Ge(p), si:

\displaystyle \large P(X=k)=p(1-p)^{k-1}

Distributio Binomialis Negativa

Similis Geometricae est Distributio Binomialis Negativa, sed paulo generalior. Cum perficias processum binomialem (sicut monetam continue iactare) et loco quaerendi numerum successuum quaeras numerum conatuum quos facis usque ad obtinendum m-esimum successum, tum aderis coram variabili aleatoria discreta cum distributione Binomiali Negativa. Si variabile aleatoria X habet distributionem Binomialem Negativam, X\sim Bn(m,p), tunc habetur:

\displaystyle\large P(X=k)= {{k-1}\choose{m-1}} p^m(1-p)^{k-m}

Distributio Hypergeometrica

Imagina te habere saccum cum N sphaeris colorum, quarum M sunt albae et reliquae sunt nigrae. Si ex hoc sacco extrahis n sphaeras (sine repositio), tum numerus sphaerarum albarum extractarum associabitur variabili aleatoria discreta cum distributione Hypergeometrica. Si variabile aleatoria X habet distributionem Hypergeometricam, X\sim Hg(N,M,n), tunc:

\displaystyle \large P(X=k)=\frac{{{M}\choose{k}} {{N-M}\choose{n-k}}}{{N}\choose{n}}

Exercitia Proposita

1. Taberna ludorum mensae vendit chartas casu ex lotto 500 chartarum commutabilium (imagine sunt chartae mythorum, magic, pokemon, aut cuiuslibet alterius ludi tcg). Si venditor curat ut in toto semper sint 450 chartae communes (parvi pretii) et 50 chartae rarae (magni pretii), quae est probabilitas obtinendi 3 chartas raras emendo 20 chartas casu?

2. Utendo hac charta in ludo:

   

   Quae est probabilitas ut abiciantur 4 chartae adversarii?

3. In quadam taberna, probabilitas vendendi machinam vitiosam est 2%. Quae est probabilitas ut decima machina vendita sit tertia cum vitiis fabricae?