Consequentia et Aequivalentia Semantica

SUMMARIUM
In hac lectione studebimus Consequentiam et Aequivalentiam Semanticam in logica propositionali, quod est continuatio naturalis eorum quae antea vidimus. Discemus quomodo notio consequentiae semanticae ex attributionibus valorum veritatis obtineatur et quomodo haec idea ad theorema deductionis pertineat. Praeterea, videbimus exempla practica usus tabularum veritatis ad proprietates utiles obtinendas, ut Eliminatio Coniunctionis et Introductio Disiunctionis. Explorabimus etiam notionem Aequivalentiae Semanticae et quomodo ea ad proprietates iam notas referatur. Denique ostendemus quomodo usus exemplorum (modelorum) et technicarum deductionis nos adiuvet in studio quaestionum de consequentia et aequivalentia semantica.

PROPOSITA DISCENDI:
His peractis, discipulus poterit

Intelligere notionem consequentiae semanticae.
Intelligere varias interpretationes symboli ⊨.
Intelligere demonstrationem theorematum deductionis in versione semantica eiusque usum in studio consequentiae et aequivalentiae semanticae.
Intelligere definitionem aequivalentiae semanticae eiusque relationem ad valores veritatis.
Applicare theorematis deductionis versionem semanticam ad quaestiones de consequentia in quaestiones de validitate transformandas.
Applicare proprietates utiles in usu tabularum veritatis ad aequivalentias semanticas demonstrandas.
Applicare leges absorptionis, distributionis et DeMorgan ad expressionum complexarum simplificationem.
Examinare relationem inter exempla (modela) et deductiones in studio logicae propositionis.

INDEX
ATTRIBUTIONES ET MODELA
THEOREMA DEDUCTIONIS (VERSIO SEMANTICA)
USUS THEOREMATIS DEDUCTIONIS IN STUDIO CONSEQUENTIAE ET AEQUIVALENTIAE SEMANTICAE
AEQUIVALENTIA SEMANTICA ET PROPRIETATES
SYNTESIS

Studium Consequentiae et Aequivalentiae Semanticae est continuatio naturalis eorum quae tractavimus cum semanticam logicae propositionis consideravimus. Nunc considerabimus quomodo ex attributionibus valorum veritatis notio consequentiae semanticae proveniat, et quomodo ex hoc naturaliter oriatur versio semantica theorematis deductionis. Inde ostendentur exempla practica usus tabularum veritatis ad quasdam proprietates utiles obtinendas. Haec omnia videre etiam potes in canali YouTube.

Attributiones et Modela

Primum incipiamus cum definitione quae est momenti maximi pro progressibus quos in hoc capite videbimus: definitio consequentiae semanticae.

DEFINITIO: Expressio

G

est consequentia (semantica) alterius expressionis

F

si pro omni attributione

\mathcal{A}

valet

$\mathcal{A}\models F \Rightarrow \mathcal{A}\models G$

Hoc repraesentatur scribendo $F\models G$ et legitur “expressio $F$ modulat expressionem $G$ ” vel “ $G$ est consequentia (semantica) expressionis $F$ .”

Hac definitione data, animadvertendum est symbolum $\models$ diversas habere interpretationes secundum contextum:

$\mathcal{A} \models F$ significat $\mathcal{A}(F) = 1$ ; id est, “ $\mathcal{A}$ modulat $F$ .”
$G \models F$ significat si aliqua attributio $G$ modulat, tunc etiam $F$ modulat; hoc legitur ut “ $F$ est consequentia $G$ .”
$\models F$ significat $F$ omnibus attributionibus verum est; id est, $F$ est tautologia.

Itaque, quamvis symbolum $\models$ varias habeat interpretationes, contextus eas clare definit.

Notio consequentiae (semanticae) proxima est notioni “implicationis” quam antea tractavimus, cum $F\models G$ implicet $\models (F\rightarrow G)$ . Re vera, hoc simile est theorema deductionis quod antea in lectionibus tractavimus.

Theorema Deductionis (Versio Semantica)

[videre]

THEOREMA: Si

F

G

sunt quaelibet expressiones, tunc valet

$F\models G \Leftrightarrow \models (F\rightarrow G)$

Demonstratio:

Demonstratio huius theorematum facile obtinetur observando tabulas veritatis

$F$	$G$	$\neg F$	$(F\rightarrow G):=(\neg F \vee G)$
$0$	$0$	$1$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$
$1$	$1$	$0$	$1$

Si attendamus ad significationem $F\models G$ , videbimus hoc aequivalere dicere $\mathcal{A}\models F \Rightarrow \mathcal{A}\models G$ , quod rursus idem est ac dicere $\mathcal{A}\not\models F \vee \mathcal{A}\models G$ . Nunc, si advertamus $\mathcal{A}\not\models F$ idem esse ac $\mathcal{A}\models \neg F$ , tunc sequitur $F\models G$ aequivalere dicere $\mathcal{A} \models \neg F \vee \mathcal{A}\models G$ . Si igitur tabulam veritatis pro $F \rightarrow G$ conficiamus et regione in qua $\mathcal{A} \models \neg F \vee \mathcal{A}\models G$ valet viridi notemus, tum videbimus hoc:

$F$	$G$	$\neg F$	$(F\rightarrow G):=(\neg F \vee G)$
$0$	$0$	$1$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$
$1$	$1$	$0$	$1$

Hinc habemus quod, cum $F\models G$ , semper evenit $\models (F \rightarrow G)$ et vicissim; quod est nihil aliud quam theorema deductionis et eius reciproca in versione semantica.

Supponamus nos velle scire utrum expressio $G$ sit consequentia alicuius alterius expressionis $F$ . Ad hoc referemur ut quaestio de consequentia. Utendo theorema superiore, haec quaestio transformari potest in quaestionem de validitate, quia “ $G$ est consequentia $F$ si et tantum si $(F\rightarrow G)$ est theorema.”

Usus theorematum deductionis in studio consequentiae et aequivalentiae semanticae

Ex tabulis veritatis inferre possumus nonnullas proprietates quae alias iam visae sunt.

EXEMPLUM: Ostendere usus tabularum veritatis valere sequentis proprietates

Eliminatio Coniunctionis:

(F\wedge G)\models F

Introductio Disiunctionis:

F\models (F\vee G)

Contradictio:

(F\wedge\neg F)\models G

Solutio: Utendo theorema deductionis quod modo recensuimus, possumus quaestionem de consequentia in quaestionem de validitate convertere.

Ad solvendum casum Eliminationis Coniunctionis, tabulam veritatis sequentem construere possumus

$F$	$G$	$(F\wedge G)$	$((F\wedge G) \rightarrow F)$
$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$

Hoc ostendit $((F\wedge G)\rightarrow F)$ esse tautologiam et, propter reciprocum theorema deductionis, concluditur $(F\wedge G) \models F$ .

Introductio Disiunctionis analogice resolvitur per tabulam veritatis aptam construendam

$F$	$G$	$(F\vee G)$	$(F\rightarrow(F\vee G))$
$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$

Hic observamus $(F\rightarrow (F\vee G))$ esse tautologiam et, igitur, per reciprocum theorema deductionis, habetur $F\models (F\vee G)$

Et denique, proprietas Contradictionis demonstratur utendo eadem methodo

$F$	$\neg F$	$(F\wedge \neg F)$	$G$	$((F\wedge \neg F)\rightarrow G)$
$0$	$1$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$1$	$1$

Hac tabula veritatis demonstravimus $((F\wedge \neg F)\rightarrow G)$ esse tautologiam et, igitur, per reciprocum theorema deductionis, habetur $(F\wedge \neg F)\models G$ .

Aequivalentia Semantica et Proprietates

[videre]

DEFINITIO: Si simul occurrunt

F\models G

G\models F

, tunc dicitur

F

G

inter se esse semantice aequivalentes. Hoc repraesentatur scribendo

F\equiv G

Ex hac definitione sequitur duas expressiones semantice aequivalentes esse si et tantum si easdem habent valores veritatis.

EXEMPLUM: Ostendi potest per tabulas veritatis valere aequivalentias semanticas symmetriae.

(F\downarrow G) \equiv (G\downarrow F)

(F\vee G) \equiv (G\vee F)

(F\wedge G) \equiv (G\wedge F)

(F\leftrightarrow G) \equiv (G\leftrightarrow F)

(F\underline{\vee} G) \equiv (G\underline{\vee} F)

EXEMPLUM: Si

F

est quaelibet expressio,

\top

est tautologia et

\bot

est contradictio, tunc per tabulas veritatis demonstrari possunt sequentes aequivalentiae semanticae

(F\wedge \top) \equiv F

(F\vee \top) \equiv \top

(F\wedge \bot) \equiv \bot

(F\vee \bot) \equiv F

Hae aequivalentiae cognoscuntur ut leges absorptionis.

EXEMPLUM: In semantica logicae propositionis valent etiam aequivalentiae distributionis inter coniunctionem et disiunctionem.

(F\wedge (G\vee H)) \equiv ((F\wedge G) \vee (F\wedge H))

(F\vee (G\wedge H)) \equiv ((F\vee G) \wedge (F\vee H))

EXEMPLUM: In semantica logicae propositionis valent etiam Leges DeMorgan.

\neg(F\wedge G) \equiv (\neg F \vee \neg G)

\neg(F\vee G) \equiv (\neg F \wedge \neg G)

EXERCITATIO: Exercitium utile est demonstrare per tabulas veritatis valere revera aequivalentias semanticas Legum Absorptionis, Distributivitatis et Legum DeMorgan.

EXEMPLUM: Demonstrandum est, utens aequivalentias semanticas, sequentem aequivalentiam:

$((C\wedge D) \vee A) \wedge (C\wedge D) \vee B) \wedge (E \vee \neg E))\equiv ((A\wedge B)\vee(C\wedge D))$ .

Solutio: Hanc aequivalentiam demonstrare possumus per tabulas veritatis, sed si hoc facimus, tractare debebimus expressionem cum 5 variabilibus propositionis, quod significat conficiendam esse tabulam veritatis cum

2^5 = 32

ordinibus; hoc igitur vitandum est. Ad hoc assequendum, utamur aequivalentias quas iam monstravimus.

Primum animadvertamus $(E\vee \neg E)$ esse tautologiam. Denotemus hanc tautologiam per $\top$ . Tunc, utentes legibus absorptionis, habebimus

$((C\wedge D) \vee A) \wedge (C\wedge D) \vee B) \wedge (E \vee \neg E)) \equiv ((C\wedge D) \vee A) \wedge (C\wedge D) \vee B))$

Utendo legibus distributionis obtinemus

$((C\wedge D) \vee A) \wedge (C\wedge D) \vee B)) \equiv ((C\wedge D) \vee (A\wedge B))$

Denique, per symmetriam

$((C\wedge D) \vee (A\wedge B)) \equiv ((A\wedge B) \vee (C\wedge D))$

Itaque, sequendo has aequivalentias, habetur aequivalentia

$((C\wedge D) \vee A) \wedge (C\wedge D) \vee B) \wedge (E \vee \neg E)) \equiv ((A\wedge B) \vee (C\wedge D))$

quod erat demonstrandum.

Synthesis

Si spectemus expositionem huius ultimi exempli, videbimus quod, numero variabilium aucto, difficultas tractandi quaestiones de consequentia et aequivalentia semantica exponens crescit si ex solis tabulis veritatis pendemus. Tamen vidimus ex expositione notiones modelorum emergere aliquid simile technicis deductionis, quas iam satis diligenter tractavimus. Haec relatio inter modela et deductiones est quod mox videre poterimus, et coniunctio utriusque est quae tandem innumerabiles dolores capitis in studio logicae nobis evitabit.