Completitudo et Solventia in Logica Propositionali
SUMMARIUM
Hac lectione tractatur relatio inter completitudinem et solventiam in logica propositionali. Quamvis technicae deductionis et semanticae in logica propositionali late disceptatae sint, parum attentionis data est relationi inter utramque faciem. Solventia significat proprietatem systematis logici ex complexu expressionum Γ expressionem G inferendi. Ex altera parte, completitudo significat proprietatem systematis logici, in quo, si G est consequentia semantica complexus expressionum Γ, tunc exsistit probatio formalis cum praemissis Γ ex quibus G inferri potest. Demonstratur logicam propositionalem et solventem et completam esse, atque praebetur explanatio accurata utriusque proprietatis. In specie ostenditur quomodo solventia ex constitutione systematis deductivi logicae propositionis derivetur, et quomodo completitudo simpliciter inferatur. Haec analysis magni momenti est ad intellegendum quomodo logica propositionalis operetur atque ut ea efficaciter in variis scientiae campis adhibeatur.
PROPOSITA DISCENDI:
Post hanc lectionem, discipulus poterit:
- Distinguere inter solventiam et completitudinem in systemate logico.
- Applicare tabulam veritatis ad axiomata Łukasiewicz ad demonstrandam solventiam logicae propositionis.
- Explicare modum quo modus ponens rescribi possit per versionem semanticam theorematos deductionis.
- Intellegere solventiam et completitudinem inter se relatas esse atque unam ex altera inferri posse.
- Analyzare notionem tautologiae eiusque relationem ad theoremata in logica propositionali.
INDEX
COMPLETITUDO ET SOLVENTIA IN LOGICA PROPOSITIONALI
LOGICA PROPOSITIONALIS SOLVENS EST
LOGICA PROPOSITIONALIS COMPLETA EST
Completitudo et Solventia in Logica Propositionali
Ad hoc punctum pervenientes, loquendum est de completitudine et solventia logicae propositionis. Hactenus multum dictum est de technicis deductionis atque de semantica logicae propositionis, sed omnia ita tractata sunt quasi hae duae facies prorsus independentes essent et nullam inter se haberent relationem. Veritas autem est prorsus contraria.
SOLVENTIA: Ex una parte dicitur systema logicum esse solventem cum, quoties expressio G ex complexu expressionum \Gamma inferri possit, tunc G sit etiam consequentia (semantica) \Gamma. |
COMPLETITUDO: Ex altera parte dicetur systema esse completum, cum, si G est consequentia semantica alicuius complexus expressionum \Gamma, exsistat probatio formalis cum praemissis \Gamma, ex quibus G inferri potest. |
His notionibus perspectis videbimus completitudinem et solventiam in logica propositionali satisfieri.
Logica Propositionalis Solvens Est
Facile est solventiam logicae propositionis obtinere contemplando constitutionem eius systematis deductivi. Si tabulam veritatis axiomatum Łukasiewicz conficiamus, videbimus hos talis structurae esse ut semper verum pro valore veritatis reddant, id est:
| \models (\alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \alpha)) |
| \models ((\alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \gamma))\rightarrow ((\alpha \rightarrow \beta) \rightarrow (\alpha \rightarrow \gamma))) |
| \models ((\neg\beta \rightarrow \neg\alpha)\rightarrow(\alpha \rightarrow \beta)) |
Similiter, modus ponens scribi potest hoc modo: \{\alpha,(\alpha\rightarrow \beta)\}\models \beta, quod per versionem semanticam theorematos deductionis obtineri potest. Re quidem vera, per hunc modum habebimus \{(\alpha\rightarrow \beta)\}\models (\alpha\rightarrow \beta), et deinde \models ((\alpha\rightarrow \beta)\rightarrow (\alpha\rightarrow \beta)), quae profecto tautologia est manifestissima.
Logica Propositionalis Completa Est
Completitudo logicae propositionis significat quod, si B est consequentia semantica A, tum ex A B inferri potest. Aliter dicendum: omnes expressiones verae habent demonstrationem. Hoc est quod vocamus completitudinem. Id simpliciter concludi potest.
Id simpliciter concludi potest. Fingamus ex A B non posse inferri, sive \neg(A\vdash B); per theorema deductionis hoc est idem ac dicere: \neg (\vdash A\rightarrow B); nunc, si solventiam adhibeamus, hoc ducit ad \neg(\models A \rightarrow B), quod, per reciprocum theorema deductionis (versio semantica), est idem ac \neg(A\models B). Summatim igitur habemus:
\neg(A\vdash B) \Rightarrow \neg(A\models B)
Quod idem est ac dicere:
(A\models B) \Rightarrow (A\vdash B)
Hoc significat: si A B modelat, tum ex A B inferri potest. Et si theoremata deductionis respective adhibeantur, consequenter habebimus:
(\models A\rightarrow B) \Rightarrow (\vdash A \rightarrow B)
Id est: si expressio est tautologia, tum est theorema; et, ut vidimus, theoremata sunt effectus demonstrationis.