1. Algebra Polynomiis: Definitiones

Ut algebra polynomiis intellegatur, primum scire oportet quid sint polynomia. Polynomia sunt functiones algebraicae. Si x est variabilis realis, tum functio P(x) polynomium appellatur, si scribi potest forma:

\displaystyle P(x)= \sum_{i=0}^n a_i x^i= a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots + a_nx^n,

ubi n est numerus integer non negativus et omnes a_i, cum i\in\{1,2,3,\cdots,n\}, sunt coefficientes reales. Si existit k talis ut a_k\neq 0 et, cum k\lt i, fit ut a_i=0, tunc dicitur talis valor k esse gradus polynomii. Aliter dicendum, gradus polynomii est maxima potentia cuius coefficientes non est nullus.

2. Genera Polynomiis

Polynomia secundum gradum suum classificantur; ideo, cum polynomium commemoratur, fere semper dicitur esse polynomium gradus k, cum k sit maxima potentia x quae coefficientem non nullum comitatur in tali polynomio.

2.1. Polynomia Constans

Haec est familia quae omnia polynomia gradus nulli et polynomium nullum complectitur. Dicimus polynomium esse gradus nulli, si scribi potest forma P(x)=c, cum c\neq 0. Contra, polynomium nullum est formae P(x) = 0 et huic gradus non definitur.

3. Algebra Polynomiis: Operationes

Polynomia omnes suas proprietates ex algebra numerorum realium accipiunt. Praecipuae sunt proprietates distributivae et associativae.

3.1. Additio et Subtractio

Si P et Q sunt duo polynomia gradus n et m, respective, cum

m=n+k et 0\leq k,

tunc habebitur:

\begin{array}{rl} \displaystyle P(x) \pm Q(x) &=\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i x^i \pm \sum_{i=0}^m b_i x^i \\ \\ &\displaystyle = \sum_{i=0}^n a_i x^i \pm \left( \sum_{i=0}^n b_i x^i + \sum_{i=n+1}^{n+k} b_i x^i \right) \\ \\ &\displaystyle = \sum_{i=0}^n (a_i \pm b_i) x^i + \sum_{i=n+1}^m b_i x^i \end{array}

Id est, coefficientes eidem potentiis x adsignati adduntur aut subtrahuntur, prout res postulaverit.

EXEMPLUM:
Si P(x) = 3+5x+2x^2 et Q(x) = 6x-3x^2 +23x^5, tunc:

P(x) + Q(x) = \cdots \\ = (3+5x+2x^2) + (6x-3x^2 +23x^5) \\ = 3 + (5+6)x + (2-3)x^2 + 23x^5 \\ = 3 + 11x - x^2 + 23x^5

P(x) - Q(x) = \cdots \\ = (3+5x+2x^2) - (6x-3x^2 +23x^5) \\ = 3 + (5-6)x + (2+3)x^2 - 23x^5 \\ = 3 - x + 5x^2 - 23x^5

3.2. Multiplicatio

Eodem contextu ac in additione et subtractione polynomiis, productio polynomiis sic evolvetur:

Primum distinguimus multiplicationem per scalar. Si c \in \mathbb{R}, tunc habetur:

\displaystyle c P(x) = c \sum_{i=0}^n a_i x^i =\sum_{i=0}^n c a_i x^i

Deinde habemus multiplicationem inter polynomia:

\begin{array}{rl} \displaystyle P(x) Q(x) &\displaystyle = \left( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right) \left(\sum_{j=0}^m b_j x^j\right) \\ \\ &=\displaystyle \left[\sum_{j=0}^m \left( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right) b_j x^j\right] \\ \\ &=\displaystyle \sum_{j=0}^m \left( \sum_{i=0}^n a_ib_j x^{i+j} \right) \\ \\ &=\displaystyle \sum_{i,j=0}^{n,m} a_ib_j x^{i+j} \end{array}

Hoc est quod per compendium dicimus: “summa productorum omnium cum omnibus”.

EXEMPLUM:
Si P(x) = 4x+ 2x^2-x^4 et Q(x) = 5 - x + x^2-7x^3, tunc:

P(x)Q(x) =\cdots \\ {} \\= (4x+ 2x^2-x^4)(5 - x + x^2-7x^3) \\ {} \\ = 4x(5 - x + x^2-7x^3) \\ + 2x^2 (5 - x + x^2-7x^3) \\ - x^4 (5 - x + x^2-7x^3) \\ {} \\ = 20x - 4x^2 + 4x^3 - 28x^4 \\ + 10x^2 - 2x^3 + 2x^4 - 14x^5 \\ -5x^4 + x^5 - x^6 + 7x^7 \\ {} \\ = 20x + 6x^2 + 2x^3 - 31x^4 - 13x^5 - x^6 + 7x^7

4. Factorisatio et Divisio Polynomiis

Cum duo polynomia multiplicamus, transimus a duobus simplicibus ad unum difficiliorem (maioris gradus). Cum polynomium factorisamus, processum inversum sequimur: transformamus polynomium difficilem in productum duorum vel plurium polynomiis minoris gradus.

Ut polynomium P(x) factorisetur, necesse est invenire valores x qui polynomium annulant; si tales valores existunt, tunc polynomium est factorisabile. De existentia loqui est facile, sed eos invenire alia res est. Hoc argumentum diligentius considerabimus cum factorisationes polynomiis quadraticorum et (2n)quadraticorum tractabimus.

4.1. Producta Notabilia

Exstant tamen casus in quibus factorizatio simpliciter obtinetur,
ut in productis notabilibus. Quaedam ex his resultatis sunt haec:

x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)

(x\pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2

(x \pm y)^3 = x^3 \pm 3x^2y + 3xy^2 \pm y^3

x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)

4.2. Algorithmus Divisionis

Sicut multiplicando numeros integros numeri compositi fiunt et divisio per algorithmum divisionis permittit factorizationem si residuum est nullum, simile fit cum polynomiis. Algorithmi divisionis explicatio per textum aliquantum difficilis esse potest; multo facilius est intelligere directe intuendo quomodo fiat et in quibus casibus algorithmus ad factorizationem ducat. Ad hoc assequendum, exempli gratia quaedam considerabimus.

EXEMPLUM: Computare P(x):Q(x) in casibus sequentibus:

1. P(x)=2 x^3 + x^2 - 2 x - 1, Q(x)=x-1 [SOLUTIO]
2. P(x)=x^4+2x^3-x+1, Q(x)=x^2-4 [SOLUTIO]
3. P(x)=3 x^4 - 2 x^3 - x^2 - 4 x + 1, Q(x)=x^2+x+1 [SOLUTIO]
4. P(x)=x^7+5x^4+5x^2-3x+1, Q(x)=x^3-2x^2+1 [SOLUTIO]