自然数に対する演算はよく知られていますが、この知識をより「数学的」な作法で整理する必要があります。そのため、自然数の加法、乗法および累乗の演算とその性質を振り返ります。

自然数の基本的な演算の起源

加法の演算

加法の演算の起源については授業 『自然数とペアノの公理』で検討しました。自然数の後者は次のようにも表せます：

S(n) = n+1

前に 2=S(1), 3=S(2), 4=S(3), \cdots と述べたように、このように続いていきます。このことから、加法は後者演算の繰り返し適用として解釈できます。

n+1 =S(n),

n+2 =S(S(n)),

n+3 =S(S(S(n))),

\vdots

そして一般に：

n+m = \underbrace{S(S(\cdots S(}_{m\;veces} n)\cdots))

加法の性質

もし a,b,c\in\mathbb{N}, であれば、ここから私たちがよく知っている加法の性質が得られます：

これらの性質はすべて帰納法によって証明することができますが、その作業は省略します。しかし、帰納法の技法を練習するために、自分で試してみることを勧めます。

乗法の演算

同様に、自然数の積は 加法の繰り返しとして定義されます。そのため、

n\cdot m = \underbrace{n+ n+ \cdots + n}_{m\;veces}

乗法の性質

同様にその性質を得ることができます

さらに、乗法の定義から自然数の「1」が単位元となる性質を得ます：

加法と乗法の結合

加法と乗法の演算を組み合わせると、加法の乗法に関する分配法則が得られます

自然数の演算によって誘導される順序

前に見た加法と乗法の演算から、以下の定義によって自然数に順序関係が誘導されます：

自然数における順序の性質

三分法則

これにより、次の三つの状況のうち一つだけが起こり得ることがわかります：

1. a\lt b
2. a = b
3. a\gt b

例えば a が b より小さくない場合には、二つのうちのいずれかが成り立たなければなりません。すなわち a=b または a\gt b であり、これは「大なりまたは等しい」として a\geq b. と書きます。同様に「小なりまたは等しい」場合は a\leq b. と書きます。

推移性の性質

任意の自然数 a,b および c に対して、次が成り立ちます：

[(a\lt b) \wedge (b\lt c)] \rightarrow (a\lt c)

同様に：

[(a\gt b) \wedge (b\gt c)] \rightarrow (a\gt c)

単調性の性質

加法と乗法の両方について単調性の性質があります。それは次の通りです：

逆演算：自然数の減法と除法

自然数の減法

もし a,b,c\in\mathbb{N} ならば、a と b の差（この順序で）、記号 a-b は次の関係によって定義されます

a-b=c \leftrightarrow a= b+c

この関係が成り立つのは a\gt b の場合のみであることが分かります。もし a\leq b であれば、この関係を満たす c\in \mathbb{N} は存在しません。

減法の定義から、「等式の一方で加えられているものは、他方へ移ると減算になる」というよく知られた規則が得られます。

自然数の除法

もし a,b,c\in\mathbb{N} ならば、a と b の除算（この順序で）、記号 a/b は次の関係によって定義されます

a/b=c \leftrightarrow a= bc

除法の定義から、「等式の片側で掛けられているものは反対側に移すと割り算になる」という規則が得られます。

減法 a - b が存在するために a\gt b でなければならないのと同様に、割り算 a/b が存在するためには a が b で「割り切れる」ことが必要です。これは次のように表します

a は b で割り切れる \; :=a|b \; := \; (\exists k \in \mathbb{N})(a = kb)

自然数の累乗

自然数では累乗を定義することができます。 基数と呼ばれる自然数 b, を指数と呼ばれる別の自然数 n, に累乗するとは、b を n 回掛け合わせることを意味します。したがって

b^n = \underbrace{bb\cdots b}_{n\;veces}

もし a,b,n,m\in\mathbb{N}, であれば、（二重の）帰納法によって次の性質を証明することができます：

1. \displaystyle b^nb^m=b^{n+m}
2. \displaystyle \frac{b^n}{b^m} = b^{n-m}, ただし n\lt m
3. \displaystyle (ab)^n=a^nb^n
4. \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
5. \displaystyle (b^n)^m=b^{nm}

提案問題と解答

1. ここで示されたすべての性質は、（単純または二重の）数学的帰納法を用いて証明することができますが、これらの直感的な結果に対して証明は不必要に長くなるため、詳述しません。しかし、本講義を追っている人は、練習としてそのような証明を試してみてください。 [提案のみ]
2. b^{n^m}（これは b^{(n^m)} と定義される）と (b^n)^m は同じでしょうか？ [解答]
3. 上で見た性質を用いて、次の等式を確かめなさい：
   a) (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd [解答]
   
   b) (a+b)(c-d) = ac-ad+bc-bd, ただし c\gt d [解答]
   
   c)(a-b)(c-d) = ac-ad-bc+bd, ただし a\gt b, c\gt d [解答] 
4. 次を証明しなさい
   
   a) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 [解答]
   
   b) (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2; ただし c\gt d [解答]
   
   c) (a+b)(a-b) = a^2-b^2; ただし c\gt d [解答]
   
   d) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b+3ab^2+b^3 [解答]
   
   e) (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b+3ab^2-b^3; ただし c\gt d [解答]

    

5. 完全帰納法により次の性質を証明しなさい：
   
   a) 1+2+3+4+\cdots+n = \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} [解答]
   
   b) 1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+n^2 = \displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} [解答]
   
   c) 1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots+n^3 = \displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4} [解答]