1. 序論

代数関数の研究は変数の導入から始まる： 数が入る場所を表す記号である。伝統的に x, y, z の文字は実数を表すために用いられ、他の文脈では複素数のために z が好まれる。また、変数が多数ある場合には添字を使うのが慣例である。このように x_1, x_2, \cdots , x_n も変数の例である。

代数関数は数学のさまざまな領域とその応用において基本的である。これらの関数は、加算、減算、乗算、除算、べき乗および変数の根といった基本的な演算を含む代数式によって定義される。代数関数を理解することは、代数学、解析学、幾何学、数論を含む純粋および応用数学の多くの分野の学習に不可欠である。さらに、物理学、工学、経済学および社会科学においても極めて重要であり、現実の現象を正確かつ効率的にモデル化し分析することを可能にする。

教育の場では、代数関数は抽象的思考および問題解決能力の発展のための堅固な基礎となる。これらの関数を学ぶことで、学生は代数式を操作し、変数間の関係を理解することを学び、これはより複雑な数学を進めるために不可欠である。

日常生活において、代数関数はさまざまな実践的な文脈で使用される。例えば、金融管理において利息や償還額を計算するため、情報科学においてアルゴリズムを開発するため、工学において構造やシステムを設計するために用いられる。代数関数はまた、データ分析や統計的モデリングにおいて不可欠であり、観測データに基づいて挙動を解釈し予測するのに役立つ。

要するに、代数関数の研究は数学の礎であるだけでなく、その関連性と現代世界における有用性を強調する広範な実用的応用を持つ。これらの関数について確固とした理解を持つことで、複雑な問題に取り組み、さまざまな分野で革新的な解決策を開発することができる。

2. 代数関数とは何か？

代数関数は特別な種類の関数である。 関数とは、次の表記で表される二つの集合の間の対応法則である：

f: A\longmapsto B

ここで A は入力集合、B は出力集合である。

すべての関数 f はさらに 定義域（Dom(f)）と 値域（Rec(f)）を持つ。定義域とは、関数が有効な結果を出すための入力のすべての値の集合であり、値域とは関数のすべての可能な出力の集合である。値域は 像 とも呼ばれ、定義域は 逆像 とも呼ばれる。関数を定義する際には、次の二つのいずれかの形式で書くことが慣例である：

f: Dom(f)\subseteq A\longmapsto Rec(f)\subseteq B

f: Dom(f)\ \longmapsto Rec(f)

したがって、代数関数とは、その変数の 代数演算、すなわち加算、減算、乗算、除算、べき乗および主平方根によって記述されるものである。また、関数はその変数が実数で置き換えられると期待される場合には実変数関数、複素数で置き換えられると期待される場合には複素変数関数と呼ばれ、他の数集合についても同様である。また、一変数、二変数、三変数または多変数の関数についても、その変数の数に応じて語られる。

2.1. 代数関数の例

1. 次の関数を考える

   \begin{matrix} f : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & f(x) =x^3 + 5x + \displaystyle \frac{6}{\sqrt{x}} \\ \end{matrix}

   これは実数一変数の代数関数である。ここから次のことが直接わかる。

   Dom(f) = \{x\in\mathbb{R}\;|\; x\gt 0\} = ]0, +\infty[

   これはゼロによる除算が存在せず、主平方根が正の実数に対してのみ定義されているためである。

2. 次に次の関数を見てみよう

   \begin{matrix} f : & \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & (x,y) & \longmapsto & f(x,y) =\displaystyle \frac{2xy + \frac{3}{x^2}}{\sqrt[3]{y-1}} \\ \end{matrix}

   これは二つの実変数を持ち、結果として実数を返す関数である。これは スカラー場 とも呼ばれる。この種類の関数もまたこの講座の範囲を超えるが、物理学において温度や密度分布のような量を記述するのに非常に有用である。この関数の定義域も「一目で」確認できる。

   Dom(f) = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;|\; x \neq 0 \wedge y\neq 1 \}

2.2. グラフと値域についてのコメント

値域を決定することは一般的に複雑である。後で代数的には不可能と思われる場合でも容易に行うことができる技法を紹介する。しかしながら、これらの方法があっても問題は存在する。なぜなら、極値を特定するための臨界点の計算など、この講座の範囲を超える技法が時として必要となるからである。とはいえ、解析学なしでもできることは多くあり、それらは適宜学んでいく。

それでもなお、これらの関数の値域やグラフを知りたい場合は、いつでも Wolfram Alpha に頼ることができる。https://www.wolframalpha.com/ にアクセスし、次のものをコピー・貼り付けてみてください。

x^3 + 5x + \dfrac{6}{\sqrt{x}}

これにより最初の例がどのようになるかを把握できる。二つ目の例については、次のものをコピー・貼り付ける：

\dfrac{2xy + \dfrac{3}{x^2}}{\sqrt[3]{y-1}}

3. その他の種類の関数

この講座で学ぶ関数は二種類に分けることができる： 代数関数と超越関数である。すでに見たように、代数関数は基本的な演算によって書き表すことのできるものであり、超越関数はこの方法では書き表すことができないか、無限の操作から成る表現を必要とする。代数関数はさらに多項式関数と非多項式関数の二種類に分類できる。多項式関数とは、次のように冪の和または差として書くことのできる任意の関数のことである：

\displaystyle P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n

この形式でない任意の関数は非多項式である。非多項式関数の中でも、二つの多項式関数の比として書くことのできる有理関数が特に重要である。