双曲線の方程式とその導出

要約：
この授業では、双曲線の幾何学的定義を楕円と対比しながら探求し、その一般方程式および標準形を導出します。

学習目標：
この授業の終了時に、学生は次のことができるようになります：

双曲線とは何かを幾何学的に定義する。
幾何学的定義から双曲線の一般方程式と標準形を導出する。
焦点距離に関する観点から、楕円と双曲線の違いを識別する。

目次
双曲線の幾何学的定義
 双曲線の方程式の導出
 双曲線の一般方程式
 双曲線の標準形

双曲線の幾何学的定義

以前、楕円や円の方程式について学習し、それらは $ax^2 + bx + cy^2 + dy + e = 0$ の形をしており、ここで $a$ および $c$ はゼロでない同符号の値であることを確認しました。このとき、 $a$ と $b$ の符号が異なる場合、楕円ではなく双曲線が得られます。この点に関してはこれまで深く触れずにいましたが、今ここでこの空白を埋めましょう。本授業では、双曲線とは何かを幾何学的に定義し、そこからその一般方程式および標準形を導出します。

一方で楕円は、2つの点（焦点）からの距離の和が一定となる点の集合として定義されます。これに対して双曲線は、2つの焦点からの距離の差の絶対値が常に一定となる点の集合として定義されます。

すなわち、次の関係が成り立ちます：

$|d(f_1,P) - d(f_2,P)| = 2a$

ここで、 $a$ は任意の正の実数定数です。

この関係は実際には2つの方程式を生じさせます： $d(f_1,P) - d(f_2,P) = 2a$ および $d(f_2,P) - d(f_1,P) = 2a$ 、これは双曲線のそれぞれの枝に対応します。

双曲線の方程式の導出

幾何学的定義に基づいて双曲線の代数的表現を得ることができます。そのために、まず最も単純な場合から始め、そこから一般化を展開していきます。本節では、双曲線の片側の枝について論理を進めますが、もう一方の枝に対する考察も完全に類似しています。

簡略形の導出

2つの焦点を考えます： $f_1 = (-c,0)$ および $f_2 = (c,0)$ とし、点 $p = (x,y)$ が次の条件を満たす場合、その点は双曲線上にあるといえます。

$\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a$

ここから次のように導出が進みます：

$\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a$	; 双曲線の定義式
$\sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} - \sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} = 2a$	; 二乗展開
$\sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} = 2a + \sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}$	; 項の整理
$\color{red}{x^2} + 2xc + \color{purple}{c^2} + \color{violet}{y^2} = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} + \color{red}{x^2} - 2xc + \color{purple}{c^2} + \color{violet}{y^2}$	; 両辺を二乗
$2xc = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} - 2xc$	; 同類項の削除
$4xc = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}$	; 項の再整理
$xc = a^2 + a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}$	; 両辺を簡略化
$xc - a^2 = a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}$	; 整理
$x^2c^2 -2xca^2 + a^4 = a^2(x^2 - 2xc + c^2 + y^2)$	; 両辺を再び二乗
$x^2c^2 \color{red}{-2xca^2} + a^4 = a^2x^2 \color{red}{- 2xca^2} + a^2c^2 + a^2y^2$	; 括弧を展開
$x^2c^2 + a^4 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2$	; 同類項の削除
$x^2(c^2 - a^2) - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4 = a^2(c^2 - a^2)$	; 項の整理
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2 - a^2} = 1$	; 両辺を整理

この最後の式において、楕円と同様に $b^2 = c^2 - a^2$ と置くことで、次のように表せます：

$\displaystyle \color{blue}{ \left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1 }$

双曲線の一般方程式

双曲線の一般方程式を得るには、 先ほど導出した式に位置の変換を適用するだけで十分です：

x\longmapsto x-h

y\longmapsto y-k

これにより、中心 $(h,k)$ にある双曲線の一般形を自動的に得ることができます：

$\displaystyle \color{blue}{ \left(\frac{x-h}{a}\right)^2 - \left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1 }$

双曲線の標準形

次に、双曲線の一般方程式を 展開していくと、標準形にたどり着きます：

$\displaystyle \left(\frac{x-h}{a}\right)^2 - \left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1$	; 双曲線の一般方程式
$b^2 (x^2 - 2xh + h^2) - a^2(y^2-2ky + k^2) = a^2b^2$	; 平方を展開し、すべてに $a^2b^2$ を掛ける
$b^2 x^2 - 2hb^2x + h^2b^2 - a^2 y^2+ 2k a^2 y - a^2 k^2 = a^2b^2$	; 括弧を展開
$b^2 x^2 - (2hb^2) x - a^2 y^2+ (2k a^2) y - (a^2b^2 + a^2 k^2 - h^2b^2) = 0$	; 同類項の整理

この最後の式は、 $Ax^2+Bx + Cy^2 + Dy + E = 0$ の形をしており、 $A$ および $C$ は常に 0 ではなく、符号が反対であるという、楕円を学習したときに述べた特徴を持っています。