屈折率

屈折率は次のように定義される。ある媒質の屈折率は、真空中の光速とその媒質中の光速との比である。これは無次元量であり、一般に文字n_k:で表される。

n_k=\displaystyle \frac{c}{c_k}

ここでcは真空中の光速、c_kは媒質kにおける光速である。

光は常に真空よりも媒質中で遅く伝わるため、屈折率は常に1以上である。

フェルマーの原理

光速は媒質に依存する。媒質の屈折率が大きいほど、その媒質中での光の速度は遅くなる。これに関連してフェルマーの原理が次のように述べられる：

光がある点から別の点へ移動するとき、その経路は移動時間を最小化するものである。

この原理は光が異なる媒質を通過する場合でも成り立つ。

光の屈折におけるスネルの法則

フェルマーの原理によって定められたことから、光線が異なる媒質を通過するときにどの経路をたどるかを求める最適化問題を定式化することができる。これが最終的にスネルの法則へと導かれるものであり、その定式化と証明を以下で示す。

点Aから光線が出て、屈折率n_1とn_2をもつ2つの媒質を隔てる界面を横切り、点Bに到達すると仮定する。目的は、光線が最小時間の経路をたどるというフェルマーの原理に従って、その経路を計算できる関係式を導くことである。このために次の図を用いる：

考え方は光線の移動時間の形を分析することから始まる。次のようになる：

\begin{array}{rl}{Tiempo\,de\,Viaje} & =\displaystyle \frac{{Distancia}}{{Rapidez}} \\ \\ & \displaystyle =\frac{{Distancia\,en\,medio\,1}}{{Rapidez\,en\,medio\,1}} + \frac{{Distancia\,en\,medio\,2}}{{Rapidez\,en\,medio\,2}}\\ \\& =\displaystyle \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{c_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d-x)^2}}{c_2}\end{array}

このとき、点Aと点Bを固定したまま、移動時間は光線が媒質間の界面に到達する点xによって決まる。これにより、次のように時間の関数t(x)を定義できる：

t(x) = \displaystyle \frac{1}{c_1}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\sqrt{b^2 + (d-x)^2}

さて、フェルマーの原理は光が移動時間を最小化する経路をたどると述べているので、これに基づいて関数t(x)を最小化するxを求めることができる。これは最適化問題である。

関数tをxで微分すると次のようになる：

\displaystyle \begin{array}{rl}\dfrac{dt}{dx} &\displaystyle = \frac{1}{c_1}\frac{d}{dx}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\frac{d}{dx}\sqrt{b^2+(d-x)^2}\\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{c_1} \frac{2x}{2\sqrt{a^2 + x^2}} + \frac{1}{c_2}\frac{2(d-x)(-1)}{2\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{c_1} \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{1}{c_2}\frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \end{array}

ここで次のことに注目する：

\begin{array}{rl}\sin(\theta_1) &\displaystyle =\frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}\\ \\ \sin(\theta_2) &\displaystyle = \frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\ \\ c_1 & \displaystyle = \frac{c}{n_1} \\ \\ c_2 & \displaystyle = \frac{c}{n_2} \end{array}

したがって、これらを移動時間の導関数に代入すると：

\displaystyle \frac{dt}{dx} = \frac{n_1}{c} \sin(\theta_1) - \frac{n_2}{c}\sin(\theta_2)

最終的に、点xが関数t(x)を最小化するならば、導関数はゼロとなり、次が得られる：

\color{blue}{n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)}

これは2つの媒質間を通過する光線の屈折に関するスネルの法則であり、入射角\theta_1と屈折角\theta_2との関係を示している。

光の屈折、反射および全反射

光が ある媒質から別の媒質に移るとき、屈折が生じる。しかし一般的には、屈折と反射の組み合わせが起こり、屈折率や入射角によっては屈折が消失し、反射のみが残ることもある。

光線が媒質aから媒質bへ入射し、それぞれの屈折率がn_aおよびn_bであると仮定する。もしn_a \gt n_b,であれば、スネルの法則により次が成り立つ：

\displaystyle \sin(\theta_b) = \frac{n_a}{n_b}\sin(\theta_a)

ここでn_a/n_b \gt 1であるため、\sin(\theta_b) \gt \sin(\theta_a)となり、屈折した光線は法線から遠ざかる方向に偏向する。したがって、\sin(\theta_b)=1かつ\theta_b=90^oとなるような\theta_a\lt 90^oが存在することになる。この様子は次の図に示されている。

光線が界面で屈折する入射角を臨界角と呼び、次の関係を満たす：

\displaystyle \sin(\theta_{critico}) = \frac{n_b}{n_a}

これは次のように言い換えることができる：

\displaystyle \theta_{critico} = \arcsin\left( \frac{n_b}{n_a} \right)

もし\theta_a \gt \theta_{critico}ならば、全反射が起こる。

演習:

1. 次の図に示すように、水からガラスへ光線が入射する場合を考える：
   
   水の屈折率はn_1 = 1,33、ガラスの屈折率はn_2=1,52である。水からガラスへ入射する光線が、法線に対して\theta_1 = 60^oの傾きで界面に当たるとき、屈折した光線はどの角度\theta_2で出るか。解答
   スネルの法則を用いると次のようになる：

   (1)	n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)	; スネルの法則
   \equiv	\displaystyle \sin(\theta_2) = \frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1)
   \equiv	\displaystyle \theta_2 = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1)\right)
   (2)	n_1=1,33	; 水の屈折率
   (3)	n_2=1,52	; ガラスの屈折率
   (4)	\theta_1=60^o	; 光線の界面における入射角
   (5)	\displaystyle \theta_2 = \arcsin\left(\frac{1,33}{1,52}\sin(60^o)\right) \approx 49,268^o	; (1,2,3,4)より、屈折角

2. 2つの界面で区切られた3種類の液体があり、それぞれの屈折率はn_1=1,33、n_2=1,41、n_3=1,68である。これらは次の図に示すように配置されている：屈折率n_1の媒質からn_2の媒質に光線が入射し、界面で\theta_1=70^oの角度で当たる場合、屈折率n_3の媒質に移るとき、光線はどの角度で屈折するか。
   解答
   前の演習と同様に、次のような推論が得られる：

   (1)	n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)	; 媒質 n1 から n2 への移行におけるスネルの法則
   (2)	n_2 \sin(\theta_2) = n_3 \sin(\theta_3)	; 媒質 n2 から n3 への移行におけるスネルの法則
   (3)	n_1 \sin(\theta_1) = n_3 \sin(\theta_3)	; (1,2)より
   \equiv	\displaystyle \sin(\theta_3) = \frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1)
   \equiv	\displaystyle \theta_3 = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1)\right)

   最後に、与えられた値を代入すると：

   
   \displaystyle \theta_3= \arcsin\left(\frac{1,33}{1,68}\sin(70^o)\right) \approx 48,0667^o
   この推論から、光線の入射媒質と出射媒質だけを考慮し、中間の媒質を完全に無視して計算できることが分かる。
   
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3. プールの底から水と空気の界面に向かって光線を放射する。全反射が起こるための入射角を求めよ。
   解答
   臨界角は次の式で与えられる：

   \displaystyle \theta_{critico}= \arcsin\left(\frac{1,00}{1,33}\right) \approx 48,7535^o

   [動画]