慣性参照系

物理を行う際には、事象を測定する参照枠を自由に選択することができ、これらの枠は向きや相対運動の点で異なる場合があります。すべての可能な参照枠の中には、私たちが知っているように物理を行うことを可能にする特別なクラスがあり、それが慣性参照系です。参照枠がニュートンの第一法則を満たすとき、その参照枠は慣性であると言われます。この法則は、外力が存在しない場合に粒子が運動状態を保持することを規定しており、したがって次のようになります。

\displaystyle \frac{dx^2}{dt^2} = \frac{dy^2}{dt^2} = \frac{dz^2}{dt^2} = 0.

このことから、重力が存在しない場合に二つの枠 S と S^\prime が慣性であるなら、S^\prime は S とは次の点でのみ異なり得ることがわかります:

• 平行移動,
• 回転,
• 両方の枠の間の一定速度による相対運動。

慣性枠の概念は相対性原理にとって基本的であり、この原理は物理法則がすべての慣性枠において同じ形を持つことを述べています。この原理はニュートン力学と特殊相対論の両方に同じように適用されます。

ニュートン力学と特殊相対論における相対性原理

ニュートン力学と特殊相対論の記述は、ある慣性系に対してある事象の座標が別の慣性系の座標とどのように関連するかにおいて異なります。

次に、「標準配置」にある直交慣性枠 S と S^\prime の二つを考えます。すなわち S^\prime は S の \hat{x} 軸に沿って一定速度 \vec{v}_{ss^\prime} = v_{ss^\prime_x} \hat{x} で移動し、S と S^\prime の各軸は整列して t=t^\prime=0 で一致するとします。

このとき、S と S^\prime から見た事象の座標を結び付ける線形変換が存在するならば、それらは次の線形方程式系によって関連します

\begin{array}{rl} t^\prime &= At + Bx,\\ x^\prime &= Dt + Ex,\\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &=z, \end{array}\;\;\;[\triangle]

ここで A, B, D および E は求めるべき定数です。

慣性参照系間の変換の単純化

これらの変換は、以下の観察を行うことで簡略化することができます:

• 変換は任意の x^\prime に対して成り立たなければならないので、事象を S^\prime の原点に置くと x^\prime =0 になります。これは、事象が S^\prime とともに移動し、S に対する位置が x=v_{{ss^\prime}_x}t であることを意味します。

  x=v_{{ss^\prime}_x}t を [\triangle] の第二式に代入すると D=-Ev_{{ss^\prime}_x} が得られます。

  同様に、この変換は任意の x についても成立するので、事象を S の原点に置くと、S^\prime から見た位置は x^\prime = -v_{{ss^\prime}_x}t^\prime になります。

  これを [\triangle] の第一式と第二式に代入すると t^\prime=At および -v_{{ss^\prime}_x}t^\prime =Dt となります。この二つの等式を割ることで D=-v_{{ss^\prime}_x}A が導かれます。

• したがって、上記の点を両立させる唯一の方法は A=E, と仮定することであり、これにより変換は次のように簡約されます。

  \begin{array}{rl} t^\prime &= At + Bx,\\ x^\prime &= A(x - v_{ss^\prime_x} t), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}\;\;\;[2]

ローレンツ変換とガリレイ変換

ニュートン力学の場合には、時間がすべての慣性参照系で同じように経過するガリレイの相対性があり、このため t=t^\prime となります。この結果 A=1 および B=0 となり、これが二つの慣性参照系間で観測を変換することを可能にする、よく知られたガリレイ変換につながります

\begin{array}{rl} t^\prime &= t\\ x^\prime &= x - v_{ss^\prime_x} t, \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}\;\;\;[3]

一方、相対論的な物理においては、真空中の光速度がすべての慣性参照系で同じであるとするアインシュタインの相対性原理を用います。これは、後の節で見るように、次の形をとる特殊相対論のよく知られたローレンツ変換へと導きます:

\begin{array}{rl} ct^\prime &=\gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \\ x^\prime &= \gamma_x(x - \beta_x ct) \\ y^\prime &= y \\ z^\prime &= z \end{array}

ここで \beta_x=v_{ss^\prime_x}/c、\gamma= 1/\sqrt{1-\beta_x^2} です。

結論

相対性原理は、宇宙に対する私たちの理解を革新するだけでなく、時間と空間についての最も基本的な認識に挑戦します。慣性参照枠の分析を通して、ニュートン力学でも特殊相対論でも、観測者に関係なく物理法則がその形を保っていることを見てきました。ローレンツ変換とガリレイ変換は、これら二つのアプローチの微妙で深い違いを独自に示しています。この原理は現代物理学の中心に位置し、物理現象の理論的理解に不可欠であるだけでなく、GPS 技術から宇宙探査に至るまでの実践的な応用にも重要です。相対性原理の複雑さを解き明かすことで、宇宙の精巧な織物とその中での私たちの位置を理解するために一歩近づくことができます。