導入

片側極限は、左または右のいずれか一方からのみ極限が存在しうる場合に現れます。 これまでに学んできた極限は、まさに後者のタイプです：関数 f の x \to x_0 における極限が存在するためには、f が x_0 の両側でしっかり定義されていなければなりません。この条件が満たされない場合、極限の定義は機能しません。この種の極限が現れる状況は頻繁にあるため、それに対処する方法を見つける必要があります。そのために、形式的な定義が導入されます。

片側極限および両側極限の直感的なアイデア

関数の極限が存在するためには、関数 f が x \to x_0 のときに x_0 の両側でしっかり定義されている必要があります。この条件が満たされていれば、それは「両側極限」が存在するということです。さらにその極限が L に等しいならば、次のように書くことに何の問題もありません。

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = L

さて、今この関数を再定義して、その定義域が x_0 より大きい値のみを含むようにしてみましょう。そうすると、x において意味を持たない値が存在するため、極限は存在しなくなります。しかし、グラフ的には依然として x \to x_0 のときに f(x) が L に近づくように見えます。ここで得られる直感的なアイデアが「右側からの片側極限」であり、これは次のように表されます：

\displaystyle \lim_{x\to x_0^+}f(x) = L

そして、全く同様に「左側からの極限」も次のように表現できます：

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x) = L

最終的に、両側極限は片側極限が存在し、それらが等しいときに限って存在します。

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x)

片側極限の形式的定義

片側極限を形式的に定義するには、元々の極限の定義にわずかな修正を加えるだけで十分です。

\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L := \left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. 0\lt|x-x_0|\lt\delta \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

右側からの片側極限に対する定義は次のようになります：

\left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

左側からの片側極限については以下のようになります：

\left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

極限の代数法則が成立する条件

これらの定義を持つことの面白さは、それらが通常の極限定義の中に同時に含まれているという点です。これは重要であり、すでに両側極限について証明したすべての性質を再び証明する必要がないことを意味します。極限の代数法則は、以下の条件が満たされる限り、これまでの授業で学んだ通りに機能します：対象となる極限が同じ性質（どちらも左側から、またはどちらも右側からであり、決して混在しない）を持っていること、同じ点に向かっていること、そしてその点で極限が存在すること。

提案および解答付き演習問題

1. \displaystyle \lim_{x\to {\frac{1}{2}}^- } \sqrt{\dfrac{x+2}{x+1}} 【解答】
2. \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}} 【解答】
3. \displaystyle \lim_{x\to 2^+} \left(\dfrac{x}{x+1} \right) \left(\dfrac{2x+5}{x^2+x} \right) 【解答】
4. \displaystyle \lim_{x\to 1^-} \left(\dfrac{1}{x+1} \right) \left(\dfrac{x+6}{x} \right) \left(\dfrac{3-x}{x} \right) 【解答】
5. \displaystyle \lim_{h\to 0^+ } \dfrac{\sqrt{h^2 + 4h +5} - \sqrt{5}}{h} 【解答】
6. \displaystyle \lim_{h\to 0^-} \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5h^2 + 11h +6}}{h} 【解答】

7. a. \displaystyle \lim_{x\to -2^+} (x+3)\dfrac{|x+2|}{x+2}

   b. \displaystyle \lim_{x\to -2^-} (x+3)\dfrac{|x+2|}{x+2}

   【解答】

8. a. \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \dfrac{\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|}

   b. \displaystyle \lim_{x\to 1^-}\dfrac{\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|}

   【解答】