浮力の力

浮力について語るとき、 まず思い浮かべるのは、物体が流体中に沈められると重さが軽く感じられるということである。例えば、水中ではかろうじて持ち上げられる岩が、水の外ではほとんど動かすことができない。この現象は、浮力と呼ばれる力の出現によって説明される。

物体が流体中に沈められると、 上向きの浮力が生じ、それは沈められた物体によって排除された液体の重量に等しい。このため、流体中に沈んでいるすべての物体は一部の重量を失ったように見える。これは、物体の深さによって異なる部分に作用する力の差によって説明される。したがって、浮力は次のように表される。

F_{emp} = F_2 - F_1

P=F/A および P=\rho g h であることから、F=\rho g A h と推論できる。ここで、\rho は流体の密度、h は深さ、A は圧力が作用する面積、g は重力加速度である。これにより、上面および下面に作用する力は次のように表される。

F_1 = \rho g A h_1

F_2 = \rho g A h_2

したがって、次のようになる。

\begin{array}{rl} F_{\text{empuje}} &= \rho g A h_2 - \rho g A h_1 \\ \\ &=\rho g A \underbrace{h_2 - h_1}_{\Delta h} \\ \\ &= \rho gV \\ \\ & = \text{排除された液体の体積の重量} \end{array}

これがアルキメデスの原理として知られているものである。

例: 70[kg] の岩が湖の底にある。 その体積が 3\cdot 10^4 [cm^3] である場合、それを持ち上げるのに必要な力はいくらか。

解答:

岩に作用する浮力は次のように表される。

\begin{array}{rl} F_{\text{empuje}} &= \rho_{\text{agua}} g V_{roca} \\ \\ &= 10^3 \left[\dfrac{kg}{m^3}\right] \cdot 9,81\left[\dfrac{m}{s^2}\right] \cdot 3 \cdot 10^4 [cm^3] \\ \\ &= 10^3 \left[\dfrac{kg}{m^3}\right] \cdot 9,81\left[\dfrac{m}{s^2}\right] \cdot 3 \cdot 10^4 \left[\dfrac{m}{100}\right]^3 = 294[N] \end{array}

一方、岩の重量による力は次の通りである。

F_{\text{peso}} = m_{\text{roca}}g = 70[kg] \cdot 9.81 \left[\dfrac{m}{s^2}\right]=686[N]

したがって、水中で岩を持ち上げるには、F = 686[N] - 294[N] = 392[N] の力で十分である。水中では、この岩を水の外で必要とする力のおよそ半分で持ち上げることができる。

浮力とアルキメデスの原理

アルキメデスの原理は、なぜある物体が特定の流体中で浮くのかを理解する助けとなる。 例えば、水中の木材である。一般的に、流体の密度が物体の密度より大きい場合、その物体は流体に浮かび、界面の上に現れるまで浮上する。物体は平衡状態に達するまで上昇する。では、流体の上に出る物体の部分をどのように計算できるのか。それは簡単に計算できる。

重量の力と浮力を等式で結びつければ、物体が界面上にどの程度現れるかを計算できる。推論は次の通りである。

\begin{array}{rl} & F_{\text{peso}} = F_{\text{empuje}}\\ \\ \equiv & m_{\text{objeto}} g = m_{\text{sumergido}} g \\ \\ \equiv & \rho_{\text{objeto}}V_{\text{objeto}} g = \rho_{\text{sumergido}} V_{\text{sumergido}} g \\ \\ \equiv & \dfrac{\rho_{\text{objeto}}}{\rho_{\text{sumergido}}} = \dfrac{V_{\text{sumergido}}}{V_{\text{objeto}} } = \text{没している物体の割合} \end{array}

例: 単純なモデルでは、大陸を固体の岩石のブロックとして仮定する。 （密度 =2800[kg/m^3]）それが周囲の地球マントル（密度 =3300[kg/m^3]）上に浮かんでいるとする。大陸の平均厚さが 35[km] であると仮定して、マントルの上に突き出る平均高さを計算せよ。

解答:

物体が没している割合は次のようになる。

没している割合 \displaystyle = \frac{\rho_{cuerpo}}{\rho_{fluido}}

したがって、没していない部分、すなわちマントル上に突き出ている割合は次のようになる。

突き出る割合 \displaystyle = 1 - \frac{\rho_{cuerpo}}{\rho_{fluido}} = 1 - \frac{2800}{3300} \approx 0,15 = 15\%

平均厚さが 35[km] であるため、平均して突き出る部分は 15\% 35[km]\approx 5,3 [km]. となる。