1. 第二の鏡の法線と最初の鏡で反射した光線との間の角度を \beta と定義し、平面鏡における反射の法則を用いることで、次のように図を完成させることができる:
   
   これを念頭に置くと、次の推論が可能である:

   [/latex]	(90^o - \alpha) + (90^o - \beta) + \theta = 180^o	; 三角形の内角の和は 180^o であるため
   \equiv	\alpha + \beta = \theta
   [/latex]	2\alpha +2\beta + \gamma = 180	; 三角形の内角の和は 180^o であるため
   \equiv	\gamma = 180 - 2(\alpha + \beta)
   [/latex]	\color{blue}{\gamma = 180 - 2\theta}	; (1,2) より

   したがって、角度 \gamma は鏡が形成する角度 \theta のみに依存し、その公式は \gamma(\theta) = 180^0 - 2\theta となる。

2. 前項での推論に基づけば、\gamma = 180^o - 2\cdot 50^o = 80^o となる。

角度 \alpha が「臨界値」に達するのは、\beta=0^o; となるときであり、この場合、次の推論を可能にする角度 x を考えることができる:

次の二つの方程式が成り立たなければならない:

\alpha + x = 90^o

\theta + x = 90^o

そして、これは次の場合にのみ可能である:

\alpha = \theta

すなわち、\alpha=\theta の値は臨界的な入射角であり、これを超えると光線は鏡で二回以上反射し、その結果、前の演習で得られた公式は無効となる。この結果に基づき、前の演習の結果を次のように修正できる:

\gamma(\theta, \alpha) = 180^0 - 2\theta \;\;\;\; ; \;\;\;\; \alpha \in ]0,\theta[

この問題を解くためには、光線が最初の鏡に法線に対して角度 \alpha\in ]\theta, 180^o[ で入射する場合の状況を想定する必要がある。このような場合、次の図に示すような状況となる:

三角形の内角の和は 180^o であるため:

(90^o - \alpha) + (90^o + \beta) + \theta = 180

この関係を簡略化することで、角度 \beta を \alpha と \theta の式で表すことができる。

\beta=\alpha - \theta

この式は重要である。なぜなら、もし \beta=\theta であれば、前の演習の推論により、次の反射で光線は自らの経路に戻るはずだからである。したがって \alpha=2\theta となる。この推論は次のように帰納的に拡張できる:

• \alpha_0 = 0^o
• \alpha_1 = \theta
• \alpha_{n-1} = \alpha_n - \theta

これに基づき、戻り角の数列を得る:

• • \alpha_0 = 0^o
  • \alpha_1 = \theta
  • \alpha_{2} = 2\theta

\vdots

• \alpha_{n} = n\theta

さらに、平面鏡間の角度および各入射角はいずれも鋭角でなければならないことに注意すべきである。