平面鏡および球面鏡における反射

概要：
本講義では、平面鏡および球面鏡における反射に焦点を当てながら、幾何光学の基本的な原理を復習します。光線、点物体、点像といった主要な用語を定義します。さらに、像の位置を計算するための鏡の符号則とデカルトの関係式について取り扱います。また、凹面鏡と凸面鏡の特徴およびそれが実像と虚像の形成にどのように影響するかを探ります。最後に、像の大きさや向きの変化を記述するための倍率（拡大率）を導入します。

学習目標
この授業の終わりには、学生は次のことができるようになります：

1. 理解する：幾何光学を電磁光学の単純化として理解し、幾何学と微積分を用いることで像形成を理解しやすくする。
2. 把握する：反射と屈折の法則およびそれらを鏡やレンズを用いた像形成に適用する方法を把握する。
3. 理解・区別する：光線、延長された光線、点物体、点像といった主要な概念を理解し区別する。
4. 適用する：鏡の符号則を用いて物体および像の位置を決定する。
5. 分析する：平面鏡における像の形成を分析し、その対称性および像の虚像であるという性質を強調する。

目次
幾何光学の基本概念
定義
鏡の符号則
平面鏡と鏡面反射
平面鏡の前の点物体
平面鏡の前の広がった物体
球面鏡における反射
球面鏡における物体の位置と像の位置の関係
極限の場合 s\to +\infty
球面鏡における広がった物体の反射
凹面鏡と凸面鏡
倍率係数とその解釈

幾何光学の基本概念

幾何光学は電磁光学の単純化であり、像の形成とその特性を容易に理解することを可能にします。幾何学と微積分を用いることで、鏡やレンズによる像形成を理解するのに役立つ屈折と反射の法則を導き出すことができます。この第一回では、幾何光学 の基本概念と 平面鏡および球面鏡における反射 を学びます。

これらの概念に取り組み推論を行うために、まずいくつかの重要な概念を定義します：

定義

光線	光の伝播経路を表す仮想的な線である。もし光源が 点物体 であれば、光は球状の（電磁）波として放射される。したがって光線はエネルギーの流れの方向、または好ましくはポインティングベクトルの方向を持つ。
延長光線	光線 の延長を表す仮想的な線である。
点物体または点光源	自身の光または反射光の光線が発せられる空間上の一点。物体は点状または広がったもののどちらかである。点状であれば形はなく位置のみを持つ。広がった物体であれば有限で非ゼロの体積とそれを囲む表面を持つ。
点像	光線または延長光線が収束する空間の場所。
反射	光線が反射面に当たる際に方向を変える過程。
屈折	光線がある媒体から別の媒体へ移動するときに方向と速度が変化する過程。

鏡の符号則

幾何光学を体系化するのに便利な概念として、以下に紹介する符号則があります。

• 物体の位置： 物体が光が反射面に入射する側にある場合、その位置に対応する量 s は正の数とし、そうでない場合は負とする。
• 像の位置： 像が反射面から光が出ていく側にある場合、その位置に対応する量 s^\prime は正とし、そうでない場合は負とする。

平面鏡では常に s=-s^\prime. という関係が成り立つ。

平面鏡と鏡面反射

最も単純な反射面 は平面鏡です。この場合、鏡の法線に対して角度 \theta で入射するすべての光線は、角度 \theta^\prime =\theta. で反射されます。そのため、反射した光線を観察する者には、反射された物体が鏡の後ろにあるかのように見えます。

平面鏡の前の点物体

平面鏡に形成される像は対称であり、虚像です。対称であるとは、物体と鏡の間の距離が像と鏡の間の距離と同じであることを意味し、虚像であるとは像が「鏡の背後」にあることを意味します。

平面鏡の前の広がった物体

観測者が広がった物体と鏡の存在を知らない場合、反射した光線を受け取るとそれらが像から出ているかのように、すなわち像が実物体であるかのように解釈するでしょう。

球面鏡における反射

球面鏡における物体位置と像位置の関係

曲率半径 r の球面鏡を考えます。頂点から距離 s の位置に物体を置くと、図に示すように s^\prime, の点に像が現れます：

三角形の内角の和は \pi[rad] であるので、次のことが成り立ちます：

\begin{array}{lr} \phi + \theta + \pi - \beta =\pi\; &\Longrightarrow {\beta = \phi + \theta}\\ \\ \alpha + \theta + \pi - \phi =\pi\; &\Longrightarrow {\theta = \phi - \alpha} \end{array}

ここから \beta = 2\phi - \alpha となり、したがって

\color{blue}{\alpha + \beta = 2\phi}.

この情報から、物体と像の位置 s と s^\prime の関係を導くことができます。そのためには、次のことを観察します：

\begin{array}{rl} \tan(\alpha) &\displaystyle = \frac{h}{s - \delta} \\ \\ \tan(\beta) &\displaystyle = \frac{h}{s^\prime - \delta} \\ \\ \tan(\phi) &\displaystyle = \frac{h}{s - \delta} \end{array}

さらに、物体が鏡から十分遠いか、または曲率半径が十分大きい場合には、角度 \alpha, \beta および \phi を零に近いと仮定でき、その文脈において次の近似が成り立ちます：

\begin{array}{rl} \delta & \approx 0 \\ \\ \alpha &\displaystyle \approx \tan(\alpha) \approx \frac{h}{s} \\ \\ \beta &\displaystyle \approx \tan(\beta) \approx \frac{h}{s^\prime} \\ \\ \phi &\displaystyle \approx \tan(\phi) \approx \frac{h}{r} \end{array}

これらの近似を緑で強調した式に代入すると、次のようになります：

\displaystyle \frac{h}{s}+\frac{h}{s^\prime}\approx\frac{2h}{r}

最後に h を約分し、 \displaystyle f = \frac{r}{2} と置くと、次のようになります：

\displaystyle\color{blue}{\frac{1}{s}+\frac{1}{s^\prime}\approx\frac{1}{f}}

これは開口が小さい球面鏡に対する「デカルトの関係」と呼ばれるものであり、 f の値はレンズの焦点に対応します。

s\to+\infty の極限の場合

s^\prime の値を求め、 s\to+\infty, の極限を取ると、次のようになります：

\displaystyle s^\prime = \frac{1}{\frac{1}{f}-\frac{1}{s}} =\frac{sf}{s-f}

\displaystyle\lim_{s\to +\infty}s^\prime = \lim_{s\to +\infty}\frac{sf}{s-f}=f

言い換えれば、光源を非常に遠くに置くと、そこから出て鏡に届く光線はほぼ水平な経路をたどり、鏡で反射すると図のように焦点を通過します：

球面鏡における広がった物体の反射

これまで検討してきた結果から、物体が放射または反射する光が球面鏡で反射するとき、その像がどこに形成されるかを幾何学的に求めることができます。これは、すべての水平な光線は焦点を通って反射されること、焦点を通るすべての光線は水平に反射されること、および局所的には（光線が球面鏡に当たる点において）鏡が平面鏡のように振る舞うので入射角と反射角が等しいことに注意すれば十分です。

広がった物体の各点は光線を放射し、それらは鏡で反射された後、像の対応する点で交わります。

凹面鏡と凸面鏡

これまで検討した球面鏡はすべて凹面鏡の例です。これは曲率が光線の来る側に向いている鏡を指します。曲率が反対側に向いている場合、鏡は凸面鏡と呼ばれます。この種類の鏡における像の形成を幾何学的に解析すると、まず、反射した光線が一点に集まるのではなく拡散することに気づきます。そのため像が形成される位置を求めるには、反射光線を延長して虚像を得る必要があります。

この時点で以下の用語を考慮する必要があります：

• 実像： 像が反射光線によって形成され、そのため鏡の前面に存在する場合を指します。
• 虚像： 像が延長された光線によって形成され、そのため「鏡の裏側」に存在する場合を指します。

倍率係数とその解釈

これまでの図で見たように、球面鏡、凹面鏡または凸面鏡で反射が起こると、像は元の物体に対して大きさや向きが変化することがあります。では、像のこの拡大・縮小および向きの変化をモデル化する方法はあるのでしょうか？答えは「はい」であり、これは既に検討した図のいずれにおいても三角形の相似関係から導き出されます。以下では凹面鏡についての解析を示します。凸面鏡の場合も理屈は同様です。各ステップを正しく追うために、冒頭で紹介した 鏡の符号則 を念頭に置いてください。

青と緑の三角形が相似であるため、反射像が元の物体の大きさに対してどれだけ拡大しているかを示す倍率係数 m=y^\prime/y は次の関係式で計算できます：

\displaystyle \frac{y}{s} = \frac{-y^\prime}{s^\prime}

ここで y^\prime には負の符号が付きます。これは像が下向き（反転）しているためであり、鏡の符号則によれば s と s^\prime はともに正です。したがって次のようになります：

\displaystyle \color{blue}{m=\frac{y^\prime}{y} = - \frac{s^\prime}{s}}

つまり、物体と像の位置がわかれば、鏡の倍率係数を計算することができます。

この式はデカルトの関係式と組み合わせることで、焦点と物体の位置から倍率係数を計算することができます。そのためには次の関係を思い出してください：

\displaystyle s^\prime=\frac{sf}{s-f}.

そして次のようになります：

\displaystyle \color{blue}{m= - \frac{1}{s}\frac{sf}{s-f} = \frac{f}{f-s}}

これから次のことが言えます：

• |m|\lt 1 のとき、像は縮小し、 |m|\gt 1 のとき、像は拡大し、 |m|=1 のとき、像の大きさは変わりません。
• m\gt 0 のとき、像は元の物体の向きを保ちます。 m\lt 0 のとき、像は元の物体に対して反転します。
• m=0 のとき、像は一点に縮退します。