ガリレオ変換の定式化

ニュートン力学は、ガリレオ変換を通じてモデル化される相対性原理の上に成り立っており、時間はすべての慣性観測者にとって普遍的な座標として定義されている。すなわち t=t^\prime である。この主張の下で、2つの慣性系 S と S^\prime の観測を関連づける線形変換は、相対性原理 に関する講義で確認したように、線形変換の形をとる。

\begin{array}{rl} t^\prime &= At + Bx,\\ x^\prime &= Dt + Ex,\\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &=z, \end{array} [1]

慣性系 S と S^\prime が標準配置にあり、S^\prime が S に対して速度 v_{ss^\prime_x}\hat{x} で運動している場合、この変換は次の形をとる。

\begin{array}{rlr} {}t^\prime &= t \\ x^\prime &= x - v_{ss^\prime_x}t \\ y^\prime &= y \\ z^\prime &= z \end{array} [2]

逆変換

ある種の代数的対称性に基づいて、逆変換を次のように書くことができる。

\begin{array}{rl} t &= t^\prime \\ x &= x^\prime + v_{ss^\prime_x}t \\ y &= y^\prime \\ z &= z^\prime \end{array} [3]

絶対時間と速度の加法

ガリレオ変換の最初の式（[2] または [3] のいずれでも）から、事象の時間座標は観測される慣性系に依存しないことがわかる。一方、2番目の式は、速度の加法に関して一般的に「常識」と理解されるものを導く。もし粒子が S の \hat{x} 軸上を一定速度 v_{ss^\prime_x} で運動しているなら、その速度は S^\prime において次のように決定される。

\displaystyle v^\prime_x = \frac{dx^\prime}{dt^\prime} = \frac{dx^\prime}{dt} = \frac{d}{dt}\left(x - v_{ss^\prime_x} t \right) = v_x - v_{ss^\prime_x}

この最後の式を微分すると、任意の粒子の加速度は S と S^\prime のいずれにおいても同一であることが示される。すなわち dv^\prime_x/dt^\prime = dv_x/dt である。

空間と時間のガリレオ幾何学

A と B という2つの事象を考え、それぞれの座標が (t_A,x_A,y_A,z_A) および (t_B,x_B,y_B,z_B) で与えられているとする。このとき、量 \Delta t = t_B - t_A および \Delta r^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 がガリレオ変換の下でそれぞれ不変であることは容易に確認できる。これは、空間と時間を別個の存在として考えることへと導く。一方、\Delta r^2 は、これは空間そのものの幾何学的性質であることを示唆している。我々は \Delta r^2 をユークリッド空間における事象間の距離の二乗として認識する。これがニュートン力学の文脈における空間と時間の幾何学を定義する。

ガリレオ相対性と物理法則

ニュートン力学への応用

前節で見たように、ニュートン力学の文脈では、任意の2つの異なる慣性系は常に同じ加速度を観測する。これをニュートンの第2法則と組み合わせると、すべての慣性系が常に同じ力学を観測することを意味する。すなわち:

\displaystyle F_x = m\frac{dv_x}{dt}= m\frac{dv^\prime_x}{dt^\prime} = F^\prime_x.

この最後の式は、ガリレオ変換を行っても物理法則は変わらないことを示している。これは言い換えれば、物理法則はすべての慣性観測者に対して同一であるということである。

波の伝播への応用

慣性観測者の変化に対して物理法則が保持されることは、第一に我々が運動するときに観測する事実であり、第二に前節までの計算から得られた結論であるため、当然成り立つことが期待される。しかし、実際には常にそうであるわけではない。ガリレオ変換の下で保存されない現象の最も顕著な例は、波の伝播である。一般に、波 \psi の空間および時間における伝播を表す方程式は次の形をとる。

\displaystyle \nabla^2 \psi = \frac{1}{v_0^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} [4]

ここで v_0 は波の伝播速度である。

ガリレオ変換は波の伝播にどのような影響を及ぼすか？

これについては短い答えと長い答えがある。短い答えは「同じ現象を観測していても、異なる慣性観測者は『異なる物理』を見る」というものである。長い答えは、ガリレオ変換を適用したときに波の伝播方程式がどのように変化するかを確認することである。そのために、まず方程式 [4] を取り、それぞれの座標に展開すると次のようになる。

\displaystyle \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 \psi}{\partial z^2} = \frac{1}{v_0^2} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial t^2}. [5]

この式を用いて、次に [3] の式を使い、他方の慣性系における導関数に書き換える必要がある。

1階導関数の変換

[3] の式に従い、各変数をプライム付きの変数で微分すると次が得られる。

\displaystyle \frac{\partial x^\prime}{\partial x} = \frac{\partial y^\prime}{\partial y}= \frac{\partial z^\prime}{\partial z}= \frac{\partial t^\prime}{\partial t}= 1

\displaystyle \frac{\partial x^\prime}{\partial t} = - v_{x_0}

一方、その他の導関数はすべてゼロとなる。

\displaystyle \frac{\partial t^\prime}{\partial x} = \frac{\partial t^\prime}{\partial y} = \frac{\partial t^\prime}{\partial z} = \frac{\partial x^\prime}{\partial y} = \frac{\partial x^\prime}{\partial z} = \frac{\partial y^\prime}{\partial x} = \frac{\partial y^\prime}{\partial z} = \frac{\partial y^\prime}{\partial t} = \frac{\partial z^\prime}{\partial x} = \frac{\partial z^\prime}{\partial y} = \frac{\partial z^\prime}{\partial t} = 0

これを踏まえて、次にチェーンルールを用いて \psi の導関数を計算できる。

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} \underbrace{\frac{\partial x^\prime}{\partial x}}_{=1} + \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime} \underbrace{\frac{\partial y^\prime}{\partial x}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime} \underbrace{\frac{\partial z^\prime}{\partial x}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \underbrace{\frac{\partial t^\prime}{\partial x}}_{=0} = \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime}.

同様に、他の2つの空間変数についても次が成り立つ:

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime}.

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial z} = \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime}.

しかし、時間微分についてはいくつかの違いが現れる。

\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial t} &= \displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial x^\prime}\underbrace{\frac{\partial x^\prime}{\partial t}}_{=-v_{x_0}} + \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime}\underbrace{\frac{\partial y^\prime}{\partial t}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime}\underbrace{\frac{\partial z^\prime}{\partial t}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime}\underbrace{\frac{\partial t^\prime}{\partial t}}_{=1}\\ &=\displaystyle -v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime}, \end{array}

2階導関数の変換

空間部分については大きな困難なく進めることができ、その結果は次の通りである。

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2}. [6]

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {y^\prime}^2} [7]

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {z^\prime}^2} [8]

しかし、時間部分については、すでに1階導関数から予想できたように、大きな違いが現れる。

\begin{array}{rl} \displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} &=\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\left( -v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right)\\ & \displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} \right) + \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right)\\ &\displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial x^\prime} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + \frac{\partial }{\partial t^\prime} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t} \right)\\ &\displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial x^\prime} \left(-v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right) + \frac{\partial }{\partial t^\prime} \left(-v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right) \end{array}

\displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = v_{x_0}^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} - 2v_{x_0}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^\prime \partial t^\prime} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {t^\prime}^2}. [9]

ガリレオ変換を波の伝播に適用する

このようにして、波の伝播方程式に対してガリレオ変換を適用することが可能である。すなわち、式 [6,7,8] および [9] を式 [5] に代入すると、次の結果が得られる。

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {y^\prime}^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {z^\prime}^2} = \frac{1}{v_0^2} \left(\color{red}{ v_{x_0}^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} - 2v_{x_0}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^\prime \partial t^\prime}} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {t^\prime}^2} \right). [10]

ここでわかるように、波の伝播の形は赤で示した追加項の出現によりガリレオ変換の下で保持されない。現時点ではこれに大きな影響はないが、後の講義で見るように、これは古典物理学を「破る」点であり、特殊相対性理論への移行を促す契機となる。