हालांकि प्राकृतिक संख्याओं के साथ संचालन ज्ञात हैं, इस ज्ञान को “थोड़े अधिक गणितीय तरीके से” संक्षेपित करना आवश्यक है। इसलिए हम प्राकृतिक संख्याओं के जोड़, गुणन और शक्ति के संचालन और उनके गुणों की समीक्षा करेंगे।

प्राकृतिक संख्याओं के मूलभूत संचालनों का मूल

जोड़ का संचालन

जोड़ के संचालन का प्रारंभ हमने प्राकृतिक संख्याओं और पीनो के अक्षांशों पर वर्ग में देखा, क्योंकि एक प्राकृतिक का उत्तराधिकारी भी इस प्रकार प्रस्तुत किया जा सकता है:

S(n) = n+1

जैसा कि हमने कहा था 2=S(1), 3=S(2), 4=S(3), \cdots और इसी प्रकार आगे, तो हम जोड़ को उत्तराधिकारी संचालन के लगातार अनुप्रयोग के रूप में समझ सकते हैं।

n+1 =S(n),

n+2 =S(S(n)),

n+3 =S(S(S(n))),

\vdots

और सामान्यतः:

n+m = \underbrace{S(S(\cdots S(}_{m\;बार} n)\cdots))

जोड़ के गुण

यदि a,b,c\in\mathbb{N}, तो इससे हम जोड़ के वो सभी गुण प्राप्त कर सकते हैं जो हम जानते हैं:

ये सभी गुण आवर्ती प्रमाणीकरण द्वारा सिद्ध किए जा सकते हैं पर हम यह काम छोड़ देंगे। फिर भी, मैं तुम्हें इसे आवर्ती तकनीक का अभ्यास करने के रूप में कोशिश करने की प्रेरणा देता हूँ।

गुणन का संचालन

इसी तरह, प्राकृतिक संख्याओं का गुणन योग के लगातार अनुप्रयोग के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसलिए हमारे पास

n\cdot m = \underbrace{n+ n+ \cdots + n}_{m\;बार}

गुणन के गुण

और इसी तरह इसके गुण प्राप्त किए जा सकते हैं

और इसके अतिरिक्त, गुणन की परिभाषा से ही प्राकृतिक संख्याओं में “1” को इकाई का गुण प्राप्त होता है:

योग और गुणन का संयुक्त

जब योग और गुणन के संचालन संयुक्त होते हैं, तो हमें योग के संबंध में गुणन का वितरण गुण मिलता है

प्राकृतिक संख्याओं के संचालन द्वारा उत्पन्न क्रम

योग और गुणन के संचालन से, प्राकृतिक संख्याओं में एक क्रम संबंध निम्नलिखित परिभाषाओं के माध्यम से निर्धारित होता है:

प्राकृतिक संख्याओं में क्रम के गुण

त्रिकोटमी का नियम

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि केवल निम्नलिखित तीन परिस्थितियों में से एक ही संभव है:

1. a\lt b
2. a = b
3. a\gt b

यदि ऐसा होता है कि, उदाहरण के लिए a b से कम नहीं है, तो यह दो में से एक होना चाहिए: या तो a=b, या a\gt b, अर्थात बड़ा या बराबर है और इसे लिखा जाएगा: a\geq b. और इसी तरह a\leq b. जब यह कम या बराबर होता है।

संक्रमणीय गुण

यदि a,b और c कोई भी प्राकृतिक संख्याएं हों, तो यह सत्य है कि:

[(a\lt b) \wedge (b\lt c)] \rightarrow (a\lt c)

और इसी तरह:

[(a\gt b) \wedge (b\gt c)] \rightarrow (a\gt c)

मोनोटोनी का गुण

योग और गुणन दोनों के लिए एक मोनोटोनी गुण होता है, जो इस प्रकार है:

प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संचालन: घटाव और विभाजन

प्राकृतिक संख्याओं का घटाव

यदि a,b,c\in\mathbb{N}, हम कहते हैं कि a और b के बीच का अंतर (उस क्रम में), जिसे a-b लिखा जाता है, निम्नलिखित संबंध के माध्यम से परिभाषित होता है

a-b=c \leftrightarrow a= b+c

जैसा कि हम देख सकते हैं, यह संबंध केवल सत्य होगा यदि a\gt b, क्योंकि यदि a\leq b. हो, तो ऐसा कोई c\in \mathbb{N} नहीं होता है जिसके साथ यह संबंध पूरा हो सके।

घटाव की परिभाषा से हमारे पास प्रसिद्ध नियम है “जो समीकरण के एक तरफ जुड़ रहा है, वह दूसरी तरफ से घटाया जा सकता है, और इसके विपरीत”।

प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन

यदि a,b,c\in\mathbb{N}, हम कहते हैं कि a और b के बीच विभाजन (उस क्रम में), जिसे a/b लिखा जाता है, निम्नलिखित संबंध के माध्यम से परिभाषित होता है

a/b=c \leftrightarrow a= bc

विभाजन की परिभाषा से हमारे पास नियम है “जो समीकरण के एक तरफ गुणा कर रहा है, वह दूसरी तरफ से विभाजित किया जा सकता है, और इसके विपरीत”।

जैसे कि घटाव a - b के अस्तित्व के लिए आवश्यक है कि a\gt b हो, विभाजन a/b के अस्तित्व के लिए आवश्यक है कि a b द्वारा “विभाज्य” हो। इसे हम इस प्रकार लिखते हैं

a b द्वारा विभाज्य है \; :=a|b \; := \; (\exists k \in \mathbb{N})(a = kb)

प्राकृतिक संख्याओं की शक्तियां

प्राकृतिक संख्याओं के साथ हम शक्तियां परिभाषित कर सकते हैं। एक प्राकृतिक b, को, जिसे हम आधार कहते हैं, दूसरे प्राकृतिक n, को, जिसे हम घातांक कहते हैं, उत्थान करना अर्थात n बार b का गुणा करना है। इस प्रकार

b^n = \underbrace{bb\cdots b}_{n\;बार}

यदि a,b,n,m\in\mathbb{N}, तो दोहरे आवर्तन (इंडक्शन) से निम्नलिखित गुण दिखाए जा सकते हैं:

1. \displaystyle b^nb^m=b^{n+m}
2. \displaystyle \frac{b^n}{b^m} = b^{n-m}, जब तक कि n\lt m
3. \displaystyle (ab)^n=a^nb^n
4. \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
5. \displaystyle (b^n)^m=b^{nm}

प्रस्तावित और हल किए गए समस्याएं

1. यहाँ दिखाई गई सभी संपत्तियों को गणितीय आवर्ती (साधारण या दोहरी) का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, लेकिन मैंने उन्हें विकसित नहीं किया क्योंकि प्रमाण इन अंतर्ज्ञानिक परिणामों के लिए अनावश्यक रूप से लंबा होता। हालांकि, जो इन कक्षाओं का अनुसरण करते हैं, वे इन प्रमाणों को अभ्यास के रूप में करने की कोशिश कर सकते हैं। [केवल प्रस्तावित]
2. क्या b^{n^m} (जो b^{(n^m)}) के रूप में परिभाषित होता है) और (b^n)^m समान हैं? [समाधान]
3. देखी गई संपत्तियों का उपयोग करके समीकरणों की जांच करें:
   a) (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd [समाधान]
   
   b) (a+b)(c-d) = ac-ad+bc-bd,; यदि c\gt d [समाधान]
   
   c)(a-b)(c-d) = ac-ad-bc+bd,; यदि a\gt b, c\gt d [समाधान] 
4. सिद्ध करें कि
   
   a) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 [समाधान]
   
   b) (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2; यदि c\gt d [समाधान]
   
   c) (a+b)(a-b) = a^2-b^2; यदि c\gt d [समाधान]
   
   d) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b+3ab^2+b^3 [समाधान]
   
   e) (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b+3ab^2-b^3; यदि c\gt d [समाधान]

    

5. पूर्ण आवर्ती द्वारा निम्नलिखित संपत्तियों को सिद्ध करें:
   
   a) 1+2+3+4+\cdots+n = \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} [समाधान]
   
   b) 1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+n^2 = \displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} [समाधान]
   
   c) 1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots+n^3 = \displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4} [समाधान]