हाइपरबोला का समीकरण और इसका निरूपण
सारांश:
इस कक्षा में हम हाइपरबोला की ज्यामितीय परिभाषा का अध्ययन करेंगे, इसे अंडाकार से तुलना करेंगे, और इसके सामान्य और मानक समीकरण का निरूपण करेंगे।
सीखने के लक्ष्य:
इस कक्षा के अंत में, छात्र सक्षम होंगे:
- ज्यामितीय रूप से हाइपरबोला की परिभाषा करने में।
- निरूपित करने में कि हाइपरबोला के सामान्य और मानक समीकरण को उसकी ज्यामितीय परिभाषा से कैसे निकाला जाता है।
- पहचानने में कि अंडाकार और हाइपरबोला के फोकल बिंदुओं के बीच की दूरी में क्या अंतर होता है।
सामग्री सूचकांक
हाइपरबोला की ज्यामितीय परिभाषा
हाइपरबोला समीकरण का निरूपण
हाइपरबोला का सामान्य समीकरण
हाइपरबोला का मानक समीकरण
हाइपरबोला की ज्यामितीय परिभाषा
पहले हमने अंडाकार और वृत्त के समीकरण की समीक्षा की थी और पाया कि वे ax^2 + bx + cy^2 + dy + e = 0 के रूप में होते हैं, जहां a और b दो गैर-शून्य मान होते हैं और इनका चिन्ह समान होता है। हमने कहा था कि यदि a और b के चिन्ह विपरीत होते हैं, तो अंडाकार के बजाय हमें हाइपरबोला मिलता है। हमने इसके बारे में विस्तार से नहीं बताया, और अब हम इस कमी को पूरा करेंगे। हम ज्यामितीय रूप से हाइपरबोला को परिभाषित करेंगे और इससे हाइपरबोला का सामान्य और मानक समीकरण प्राप्त करेंगे।
अंडाकार की परिभाषा इस प्रकार है कि यह उन सभी बिंदुओं का समूह होता है जिनकी दूरी दो अन्य बिंदुओं, जिन्हें फोकस कहा जाता है, से जोड़ी जाती है और यह हमेशा एक समान होती है। इसी प्रकार, हाइपरबोला उन सभी बिंदुओं का समूह होता है जिनकी फोकल बिंदुओं से दूरी का अंतर हमेशा एक समान रहता है।
अर्थात, यह संबंध पूरा होता है:
|d(f_1,P) - d(f_2,P)| = 2a
जहां a एक स्थिर वास्तविक संख्या है।
इससे वास्तव में दो समीकरण प्राप्त होते हैं: d(f_1,P) - d(f_2,P) = 2a और d(f_2,P) - d(f_1,P) = 2a, जिनमें से प्रत्येक हाइपरबोला की एक शाखा का प्रतिनिधित्व करता है।
हाइपरबोला समीकरण का निरूपण
ज्यामितीय परिभाषा से हम हाइपरबोला का बीजगणितीय निरूपण प्राप्त कर सकते हैं। इसके लिए, हम सबसे सरल स्थिति से शुरू करेंगे और वहां से सामान्यीकरण करेंगे। हमारा तर्क केवल हाइपरबोला की एक शाखा के लिए होगा; दूसरी शाखा का तर्क समान होगा।
सरल रूप का निरूपण
मान लें कि दो फोकल बिंदु हैं f_1 = (-c,0) और f_2 = (c,0). बिंदु p = (x,y) हाइपरबोला पर होगा यदि
\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a
और यहां से निम्नलिखित तर्क प्राप्त होते हैं:
| \sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a | ; हाइपरबोला का समीकरण |
| \sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} - \sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} = 2a | ; वर्गों का विस्तार |
| \sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} = 2a + \sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} | ; पदों का पुनर्वितरण |
| \color{red}{x^2} + 2xc + \color{purple}{c^2} + \color{violet}{y^2} = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} + \color{red}{x^2} - 2xc + \color{purple}{c^2} + \color{violet}{y^2} | ; दोनों पक्षों को वर्ग में ले जाना |
| 2xc = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} - 2xc | ; समान पदों का समाप्ति |
| 4xc = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} | ; समान पदों का पुनर्वितरण |
| xc = a^2 + a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} | ; समान पदों का सरलीकरण |
| xc - a^2 = a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} | ; समान पदों का सरलीकरण |
| x^2c^2 -2xca^2 + a^4 = a^2(x^2 - 2xc + c^2 + y^2) | ; दोनों पक्षों को वर्ग में लेना |
| x^2c^2 \color{red}{-2xca^2} + a^4 = a^2x^2 \color{red}{- 2xca^2} + a^2c^2 + a^2y^2 | ; कोष्ठकों का उपयोग |
| x^2c^2 + a^4 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2 | ; समान पदों का समाप्ति |
| x^2(c^2 - a^2) - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4 = a^2(c^2 - a^2) | ; पदों को पुनर्गठित करना |
| \displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2 - a^2} = 1 | ; पदों का पुनर्गठन |
इस अंतिम अभिव्यक्ति के लिए, अंडाकार की तरह, हम b^2=c^2-a^2 लेते हैं और हाइपरबोला के समीकरण पर पहुंचते हैं:
\displaystyle \color{blue}{ \left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1 }
हाइपरबोला का सामान्य समीकरण
सामान्य समीकरण प्राप्त करने के लिए हमें केवल अब तक प्राप्त किए गए समीकरण को स्थिति के परिवर्तन पर लागू करना है:
| x\longmapsto x-h |
| y\longmapsto y-k |
और इसके साथ हम स्वचालित रूप से केंद्र (h,k) के साथ हाइपरबोला का सामान्य समीकरण प्राप्त करते हैं:
\displaystyle \color{blue}{ \left(\frac{x-h}{a}\right)^2 - \left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1 }
हाइपरबोला का मानक समीकरण
और अब यदि हम सामान्य समीकरण लेते हैं और इसे विस्तार करते हैं, तो हम मानक अभिव्यक्ति तक पहुंचते हैं:
| \displaystyle \left(\frac{x-h}{a}\right)^2 - \left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1 | ; हाइपरबोला का सामान्य समीकरण |
| b^2 (x^2 - 2xh + h^2) - a^2(y^2-2ky + y^2) = a^2b^2 | ; वर्गों को हल करना और a^2b^2 से सब कुछ गुणा करना |
| b^2 x^2 - 2hb^2x + h^2b^2 - a^2 y^2+ 2k a^2 y - a^2 k^2 = a^2b^2 | ; कोष्ठकों को हल करना |
| b^2 x^2 - (2hb^2) x - a^2 y^2+ (2k a^2) y - (a^2b^2 + a^2 k^2 - h^2b^2) = 0 | ; समान पदों का समूह |
यह अंतिम अभिव्यक्ति Ax^2+Bx + Cy^2 + Dy + E = 0, के रूप में है, जहां A और C हमेशा गैर-शून्य होते हैं और उनके चिन्ह विपरीत होते हैं, जैसा कि हमने अंडाकार का अध्ययन करते समय कहा था।