जब हम नमूना स्थानों का अध्ययन करते हैं, हम देखते हैं कि ये दो प्रकार के हो सकते हैं: विभाजित और निरंतर। जब नमूना स्थान निरंतर होता है, तो इस प्रकृति के यादृच्छिक चरों को परिभाषित करना संभव है और उनके आधार पर विभाजित प्रायिकता वितरणों की स्थापना करना संभव है। हमने पहले से यादृच्छिक चरों से संबंधित यहां की समीक्षा की है, अब हम विभाजित प्रायिकता वितरणों पर ध्यान केंद्रित करेंगे।

विभाजित प्रायिकता वितरण का अवधारणा

हम कहते हैं कि एक यादृच्छिक चर X में एक विभाजित प्रायिकता वितरण होता है यदि एक सेट C\subset\mathbb{R} सीमित या अनंत गणनीय होता है ऐसा कि P\left(X\in C\right)=1; इस तरह, यदि हमारे पास मान x\in C होते हैं जो p_X(x) = P(X=x), तो यह सत्यापित किया जा सकता है कि यदि A\subset\mathbb{R}, तो:

\begin{array}{lr} (*) & P\left(X\in A\right) = \displaystyle \sum_{x\in A \cap C} p_X(x) \end{array}

और विशेष रूप से,

\begin{array}{lr} (**) & \displaystyle \sum_{x\in C} p_X(x) = 1. \end{array}

यदि हम P(X\in A) की गणना A=]-\infty, t], का उपयोग करके करते हैं, तो हम पाते हैं कि:

P(X\in A) = P(X\leq t) = F_X(t) = \displaystyle \sum_{x\leq t}p_X(x)

इस गणना से, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि F_X एक “सीढ़ी” है जिसमें x\in C पर छलांग होती है, जिसका आकार p_X(x). फ़ंक्शन p_X जो C से [0,1] तक जाती है, वह है जिसे हम आवृत्ति फ़ंक्शन कहते हैं। इस प्रकार, एक विभाजित वितरण एक सीमित या अनंत गणनीय सेट C\subset \mathbb{R} और एक फ़ंक्शन p_X(x)\geq 0 के द्वारा दिया गया है जो प्रत्येक x\in C के लिए परिभाषित है और जो (*) और (**) अभिव्यक्तियों को संतुष्ट करता है।

पांच सबसे प्रसिद्ध विभाजित प्रायिकता वितरण

इस अनुभाग में, हम विभाजित प्रायिकता वितरणों का हमारा अध्ययन जारी रखेंगे। निम्नलिखित में, हम पांच सबसे प्रसिद्ध विभाजित प्रायिकता वितरणों को देखेंगे, जिन्हें उन समस्याओं के प्रकार को प्रदर्शित करने वाले उदाहरणों के माध्यम से दिखाया जाएगा जो वे हल करने में मदद कर सकते हैं।

बायनॉमियल या बर्नौली वितरण

बायनॉमियल वितरण, या बर्नौली का वितरण, एक यादृच्छिक चर लेता है जो n प्रयासों में सफलता या असफलता (X) की संख्या है जिसमें व्यक्तिगत संभावना p. होती है। यह कहा जाता है कि यादृच्छिक चर X एक बायनॉमियल वितरण का अनुसरण करता है, X\sim Bi(n,p), यदि:

\displaystyle \large P(X=k)= {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}

पॉइसन वितरण

पॉइसन प्रक्रियाएं दो श्रेणियों में विभाजित होती हैं: स्थानिक और कालिक। यह विभाजन पैरामीटर \lambda: के अपघटन से उत्पन्न होता है:

• कालिक मामला: \lambda=f\cdot T, जहां f एक आवृत्ति है और T एक अवधि है।
• स्थानिक मामला: \lambda=\rho \cdot V, जहां \rho एक घनत्व है और V एक नमूना मात्रा है।

यह महत्वपूर्ण है कि दोनों मामलों में पैरामीटर \lambda अदिश होनी चाहिए। यह भी याद रखना चाहिए कि पॉइसन प्रक्रिया एक बायनॉमियल प्रक्रिया की सीमित स्थिति है, इसलिए इस प्रक्रिया से जुड़ी यादृच्छिक चर भी कुछ “सफलताओं या असफलताओं की संख्या” से जुड़ी होती है। कहा जाता है कि यादृच्छिक चर X पॉइसन वितरण का अनुसरण करता है, X\sim Po(\lambda), यदि:

\large\displaystyle P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

ज्यामितीय वितरण

एक बायनॉमियल प्रक्रिया की कल्पना करें (जैसे बार-बार एक सिक्का फेंकना)। यदि एक निश्चित संख्या के बाद सफलताओं की संख्या पूछने के बजाय, आप यह पूछें कि पहली सफलता प्राप्त करने के लिए आपको कितनी कोशिशें करनी होंगी, तो आप एक ज्यामितीय वितरण वाले विभाजित यादृच्छिक चर के सामने होंगे। यदि एक यादृच्छिक चर X में ज्यामितीय वितरण है, X\sim Ge(p), तो:

\displaystyle \large P(X=k)=p(1-p)^{k-1}

नकारात्मक बायनॉमियल वितरण

ज्यामितीय के समान नकारात्मक बायनॉमियल वितरण है, बस यह थोड़ा अधिक सामान्य है। जब आप एक बायनॉमियल प्रक्रिया (जैसे लगातार सिक्का फेंकना) करते हैं और सफलताओं की संख्या पूछने के बजाय, आप यह पूछें कि तीसरी सफलता प्राप्त करने के लिए आपको कितनी कोशिशें करनी होंगी, तो आप एक विभाजित यादृच्छिक चर के सामने होते हैं जिसका नकारात्मक बायनॉमियल वितरण होता है। यदि एक यादृच्छिक चर X में नकारात्मक बायनॉमियल वितरण है, X\sim Bn(m,p), तो:

\displaystyle\large P(X=k)= {{k-1}\choose{m-1}} p^m(1-p)^{k-m}

हाइपरज्यामितीय वितरण

कल्पना करें कि आपके पास एक बैग है जिसमें N रंगीन गोलियां हैं, जिनमें से M सफेद हैं और बाकी काले हैं। यदि इस बैग से n गोलियों को निकाला जाता है (बिना प्रतिस्थापन के), तो निकाली गई सफेद गोलियों की संख्या को एक विभाजित यादृच्छिक चर के साथ जोड़ा जाएगा जिसमें हाइपरज्यामितीय वितरण होता है। यदि एक यादृच्छिक चर X में हाइपरज्यामितीय वितरण होता है, X\sim Hg(N,M,n), तो:

\displaystyle \large P(X=k)=\frac{{{M}\choose{k}} {{N-M}\choose{n-k}}}{{N}\choose{n}}

प्रस्तावित अभ्यास

1. एक बोर्ड गेम की दुकान में 500 विनिमेय कार्ड के एक बैच से यादृच्छिक रूप से कार्ड बेचे जाते हैं (कल्पना करें कि ये मिथकों, जादू, पोकेमोन, या किसी अन्य tcg गेम के कार्ड हैं)। यदि विक्रेता यह सुनिश्चित करता है कि कुल मिलाकर हमेशा 450 सामान्य कार्ड (कम मूल्य वाले) और 50 दुर्लभ कार्ड (उच्च मूल्य वाले) होते हैं, तो यादृच्छिक रूप से 20 कार्ड खरीदने पर 3 दुर्लभ कार्ड प्राप्त करने की संभावना क्या है?

2. निम्नलिखित कार्ड का उपयोग करते हुए:

   

   विरोधी की 4 कार्ड निकालने की संभावना क्या है?

3. एक निश्चित दुकान में, फैक्ट्री दोष के साथ एक डिवाइस बेचने की संभावना 2% है। दसवां बेचा गया डिवाइस फैक्ट्री दोष वाला तीसरा डिवाइस होने की संभावना क्या है?