अपवर्तनांक

अपवर्तनांक को परिभाषित किया गया है किसी माध्यम के लिए शून्य में प्रकाश की गति और उस माध्यम में प्रकाश की गति के अनुपात के रूप में। यह एक विमाहीन राशि है और इसे सामान्यतः अक्षर n_k: द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।

n_k=\displaystyle \frac{c}{c_k}

जहां c शून्य में प्रकाश की गति है, और c_k उस माध्यम k में प्रकाश की गति है।

चूंकि प्रकाश हमेशा किसी भी माध्यम में शून्य की तुलना में धीमी गति से चलता है, इसलिए अपवर्तनांक हमेशा 1 से बड़ा या उसके बराबर होता है।

फ़र्माट का सिद्धांत

प्रकाश की गति निर्भर करती है उस माध्यम पर जिसमें वह यात्रा कर रहा है। जितना अधिक किसी माध्यम का अपवर्तनांक होता है, उसमें प्रकाश की गति उतनी ही धीमी होती है; और इसके संबंध में, फ़र्माट का सिद्धांत निम्नानुसार व्यक्त किया गया है:

जब प्रकाश एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक यात्रा करता है, तो वह उस मार्ग का अनुसरण करता है जो यात्रा के समय को न्यूनतम करता है।

यह सिद्धांत तब भी लागू होता है जब प्रकाश विभिन्न माध्यमों से गुजरता है।

प्रकाश का स्नेल का नियम

फ़र्माट के सिद्धांत के आधार पर हम एक ऑप्टिमाइज़ेशन समस्या को बना सकते हैं जो यह निर्धारित करेगी कि प्रकाश किरण विभिन्न माध्यमों से गुजरते समय कौन सा मार्ग अपनाएगी। अंततः, यह हमें स्नेल के नियम तक ले जाता है, जिसकी प्रस्तुति और प्रमाण हम आगे देखेंगे।

मान लीजिए कि एक किरण A बिंदु से निकलती है और B बिंदु तक पहुंचती है, जो दो माध्यमों के बीच की इंटरफेस को पार करती है जिनके अपवर्तनांक क्रमशः n_1 और n_2 होते हैं। हमारा उद्देश्य उस संबंध को खोजने का होगा जो हमें फ़र्माट के न्यूनतम समय के सिद्धांत के अनुसार प्रकाश किरण का मार्ग निर्धारित करने में सक्षम करेगा, और इसके लिए हम निम्नलिखित आरेख बनाते हैं:

विचार यह है कि हम प्रकाश किरण के यात्रा समय के रूप का विश्लेषण करते हैं। हमें यह मिलता है:

\begin{array}{rl}{यात्रा का समय} & =\displaystyle \frac{{दूरी}}{{गति}} \\ \\ & \displaystyle =\frac{{माध्यम 1 में दूरी}}{{माध्यम 1 में गति}} + \frac{{माध्यम 2 में दूरी}}{{माध्यम 2 में गति}}\\ \\& =\displaystyle \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{c_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d-x)^2}}{c_2}\end{array}

यह काम करने के बाद, बिंदु A और B को स्थिर रखते हुए, यात्रा का समय उस बिंदु x से निर्धारित होता है जहां किरण माध्यमों के बीच इंटरफेस को छूती है। इसके साथ हम एक समय फ़ंक्शन t(x) को निम्नलिखित रूप से परिभाषित कर सकते हैं:

t(x) = \displaystyle \frac{1}{c_1}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\sqrt{b^2 + (d-x)^2}

अब, जैसा कि फ़र्माट का सिद्धांत कहता है कि प्रकाश वह मार्ग अपनाता है जो यात्रा के समय को न्यूनतम करता है, हम इस आधार पर उस x को पा सकते हैं जो फ़ंक्शन t(x) को न्यूनतम करता है। यह एक ऑप्टिमाइज़ेशन समस्या है।

यदि हम t का x के सापेक्ष अंतर करें, तो हमें मिलता है:

\displaystyle \begin{array}{rl}\dfrac{dt}{dx} &\displaystyle = \frac{1}{c_1}\frac{d}{dx}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\frac{d}{dx}\sqrt{b^2+(d-x)^2}\\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{c_1} \frac{2x}{2\sqrt{a^2 + x^2}} + \frac{1}{c_2}\frac{2(d-x)(-1)}{2\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{c_1} \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{1}{c_2}\frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \end{array}

अब ध्यान दें:

\begin{array}{rl}\sin(\theta_1) &\displaystyle =\frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}\\ \\ \sin(\theta_2) &\displaystyle = \frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\ \\ c_1 & \displaystyle = \frac{c}{n_1} \\ \\ c_2 & \displaystyle = \frac{c}{n_2} \end{array}

इसलिए, समय के अंतर को प्रतिस्थापित करने पर हमें मिलता है:

\displaystyle \frac{dt}{dx} = \frac{n_1}{c} \sin(\theta_1) - \frac{n_2}{c}\sin(\theta_2)

अंततः, यदि बिंदु x फ़ंक्शन t(x) को न्यूनतम करता है, तो समय का अंतर शून्य हो जाएगा और हमें मिलेगा:

\color{blue}{n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)}

यह वह स्नेल का नियम है जो दो माध्यमों के बीच से गुजरती प्रकाश किरण के लिए लागू होता है और यह दिखाता है कि आपतन कोण \theta_1 और अपवर्तन कोण \theta_2 के बीच का संबंध क्या है।

प्रकाश का अपवर्तन, परावर्तन और पूर्ण परावर्तन

हमने देखा कि जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में प्रवेश करता है, तो यह अपवर्तित होता है, लेकिन सामान्यतः यह परावर्तन और अपवर्तन का मिश्रण होता है; और यह निर्भर करता है कि आपतन कोण और अपवर्तनांक के आधार पर क्या होता है, अपवर्तन गायब हो सकता है और केवल परावर्तन शेष रह जाता है।

मान लीजिए कि एक प्रकाश किरण एक माध्यम a से दूसरे माध्यम b में प्रवेश करती है, जिनके अपवर्तनांक क्रमशः n_a और n_b हैं। यदि n_a \gt n_b, तो स्नेल के नियम के अनुसार, हमें मिलता है:

\displaystyle \sin(\theta_b) = \frac{n_a}{n_b}\sin(\theta_a)

चूंकि n_a/n_b \gt 1, इसलिए \sin(\theta_b) \gt \sin(\theta_a), इसका मतलब है कि अपवर्तित किरण सामान्य से दूर चली जाती है। इसका मतलब है कि ऐसा कोई \theta_a\lt 90^o होगा जिसमें \sin(\theta_b)=1 होगा, और इस प्रकार \theta_b=90^o, जैसा कि नीचे दी गई आकृति में दिखाया गया है।

वह आपतन कोण जो किरण को इंटरफेस के साथ अपवर्तित करता है, उसे क्रिटिकल एंगल कहा जाता है और यह संबंध संतुष्ट करता है:

\displaystyle \sin(\theta_{क्रिटिकल}) = \frac{n_b}{n_a}

यह कहने के बराबर है:

\displaystyle \theta_{क्रिटिकल} = \arcsin\left( \frac{n_b}{n_a} \right)

यदि \theta_a \gt \theta_{क्रिटिकल}, तो पूर्ण परावर्तन होगा।

अभ्यास:

1. सोचें कि एक प्रकाश किरण पानी से कांच में प्रवेश करती है जैसा कि नीचे दी गई आकृति में दिखाया गया है:
   
   पानी का अपवर्तनांक है n_1 = 1.33, और कांच का अपवर्तनांक है n_2=1.52. यदि एक प्रकाश किरण जो पानी से कांच में प्रवेश करती है और वह माध्यमों के बीच इंटरफेस पर \theta_1 = 60^o के कोण पर गिरती है, तो अपवर्तित किरण \theta_2 पर किस कोण से निकलेगी? समाधान
   स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए, हमें मिलता है:

   (1)	n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)	; स्नेल का नियम
   \equiv	\displaystyle \sin(\theta_2) = \frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1)
   \equiv	\displaystyle \theta_2 = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1)\right)
   (2)	n_1=1.33	; पानी का अपवर्तनांक
   (3)	n_2=1.52	; कांच का अपवर्तनांक
   (4)	\theta_1=60^o	; प्रकाश किरण के इंटरफेस पर गिरने का कोण
   (5)	\displaystyle \theta_2 = \arcsin\left(\frac{1.33}{1.52}\sin(60^o)\right) \approx 49.268^o	; (1,2,3,4) से प्राप्त, अपवर्तन कोण

   [वीडियो]
2. तीन तरल पदार्थ जो दो इंटरफेस द्वारा विभाजित होते हैं, उनके अपवर्तनांक निम्नलिखित हैं: n_1=1.33, n_2=1.41 और n_3=1.68, और ये नीचे दी गई आकृति के अनुसार व्यवस्थित हैं:यदि किरण n_1 के अपवर्तनांक वाले माध्यम से n_2 के अपवर्तनांक वाले माध्यम में जाती है और इंटरफेस पर \theta_1=70^o के कोण पर गिरती है, तो जब यह n_3 के अपवर्तनांक वाले माध्यम में प्रवेश करेगी, तो अपवर्तन कोण कितना होगा? समाधान
   पिछले अभ्यास के समान, तर्क इस प्रकार है:

   (1)	n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)	; n1 से n2 में संक्रमण के लिए स्नेल का नियम
   (2)	n_2 \sin(\theta_2) = n_3 \sin(\theta_3)	; n2 से n3 में संक्रमण के लिए स्नेल का नियम
   (3)	n_1 \sin(\theta_1) = n_3 \sin(\theta_3)	; (1,2) से प्राप्त
   \equiv	\displaystyle \sin(\theta_3) = \frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1)
   \equiv	\displaystyle \theta_3 = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1)\right)

   अंततः, डेटा डालने पर हमें मिलता है:

   
   \displaystyle \theta_3= \arcsin\left(\frac{1.33}{1.68}\sin(70^o)\right) \approx 48.0667^o
   ध्यान दें कि यह तर्क दिखाता है कि हम केवल प्रवेश और निकास के माध्यमों को ध्यान में रखते हुए गणना कर सकते हैं, और मध्यवर्ती माध्यम को पूरी तरह से अनदेखा कर सकते हैं।
   
   [वीडियो]
3. एक स्विमिंग पूल के तल से एक प्रकाश किरण को हवा और पानी के इंटरफेस की ओर निर्देशित किया जाता है। यह निर्धारित करें कि पूर्ण परावर्तन कब होता है।
   समाधान
   क्रिटिकल एंगल इस प्रकार दिया जाएगा:

   \displaystyle \theta_{क्रिटिकल}= \arcsin\left(\frac{1.00}{1.33}\right) \approx 48.7535^o

   [वीडियो]