गैलीलियो के परिवर्तनों का निर्माण

न्यूटोनियन भौतिकी गैलीलियो के परिवर्तनों के माध्यम से मॉडल की गई सापेक्षता के सिद्धांत पर टिकी हुई है, जहाँ समय को सभी जड़त्वीय पर्यवेक्षकों के लिए एक सार्वभौमिक निर्देशांक के रूप में स्थापित किया गया है; यानी: t=t^\prime. इस कथन के अंतर्गत, दो जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम S और S^\prime से प्राप्त अवलोकनों को संबंधित करने वाला रैखिक परिवर्तन विशेष सापेक्षता के सिद्धांत पर वर्ग में समीक्षित रूप में एक रैखिक परिवर्तन लेता है:

\begin{array}{rl} t^\prime &= At + Bx,\\ x^\prime &= Dt + Ex,\\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &=z, \end{array} [1]

जब S और S^\prime जड़त्वीय फ्रेम मानक संरचना में होते हैं और S^\prime S के सापेक्ष v_{ss^\prime_x}\hat{x} वेग से चलता है तो यह निम्नलिखित रूप लेता है

\begin{array}{rlr} {}t^\prime &= t \\ x^\prime &= x - v_{ss^\prime_x}t \\ y^\prime &= y \\ z^\prime &= z \end{array} [2]

विपरीत परिवर्तन

एक प्रकार के बीजगणितीय समरूपता से, हम विपरीत परिवर्तन लिख सकते हैं:

\begin{array}{rl} t &= t^\prime \\ x &= x^\prime + v_{ss^\prime_x}t \\ y &= y^\prime \\ z &= z^\prime \end{array} [3]

समय की परिपूर्णता और वेगों का योग

गैलीलियो के परिवर्तनों के पहले समीकरण (दोनों में से किसी एक, [2] या [3]) से यह स्पष्ट है कि किसी घटना का समय निर्देशांक उस फ्रेम पर निर्भर नहीं करता जिससे यह देखा जाता है, जबकि दूसरा वेगों के योग से जुड़ी ‘सामान्य बुद्धि’ को प्राप्त करने की अनुमति देता है। यदि कोई कण स्थिर वेग v_{ss^\prime_x} के साथ \hat{x} अक्ष के साथ S, में चलता है, तो उसका वेग S^\prime में निर्धारित होता है

\displaystyle v^\prime_x = \frac{dx^\prime}{dt^\prime} = \frac{dx^\prime}{dt} = \frac{d}{dt}\left(x - v_{ss^\prime_x} t \right) = v_x - v_{ss^\prime_x}

इस अंतिम अभिव्यक्ति में व्युत्पन्न करने से पता चलता है कि किसी भी कण का त्वरण S में और S^\prime में समान होता है, अर्थात: dv^\prime_x/dt^\prime = dv_x/dt.

गैलीलियन अंतरिक्ष और समय की ज्यामिति

यदि हम दो घटनाओं A और B को मानें जिनके निर्देशांक (t_A,x_A,y_A,z_A) और (t_B,x_B,y_B,z_B), क्रमशः होते हैं। यह देखना आसान है कि मात्राएँ \Delta t = t_B - t_A और \Delta r^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 गैलीलियो के परिवर्तनों के अंतर्गत अलग-अलग अपरिवर्तनीय हैं, जिससे हमें अंतरिक्ष और समय को अलग-अलग इकाइयों के रूप में मानने का नेतृत्व करता है। दूसरी ओर, \Delta r^2 यह सुझाव देता है कि यह अंतरिक्ष की स्वयं की ज्यामितीय संपत्ति है। हम \Delta r^2 को यूक्लिडीय अंतरिक्ष में घटनाओं के बीच की दूरी के वर्ग के रूप में पहचानते हैं। यह न्यूटोनियन यांत्रिकी के संदर्भ में अंतरिक्ष और समय की ज्यामिति को परिभाषित करता है।

गैलीलियो की सापेक्षता और भौतिक नियम

न्यूटोनियन गतिशास्त्र पर लागू

पिछले खंड में, हमने देखा कि, न्यूटोनियन भौतिकी के संदर्भ में, किसी भी दो अलग जड़त्वीय फ्रेम हमेशा समान त्वरण का अवलोकन करेंगे। यह, न्यूटन के दूसरे नियम के साथ मिलकर, यह निहित करता है कि सभी जड़त्वीय फ्रेम हमेशा समान गतिशास्त्र का अवलोकन करेंगे। अर्थात:

\displaystyle F_x = m\frac{dv_x}{dt}= m\frac{dv^\prime_x}{dt^\prime} = F^\prime_x.

यह अंतिम अभिव्यक्ति हमें बताती है कि गैलीलियो के परिवर्तन करते समय भौतिकी नहीं बदलती है, जो कहने के बराबर है कि: सभी जड़त्वीय पर्यवेक्षकों के लिए भौतिकी समान है।

तरंग प्रसार पर लागू

भौतिकी की स्थिरता जड़त्वीय पर्यवेक्षकों में परिवर्तनों के सामने अपेक्षित है, पहले क्योंकि यह हम क्या देखते हैं जब हम चलते हैं, और दूसरे क्योंकि यह पिछली गणनाओं के माध्यम से प्राप्त किया गया है, लेकिन यह हमेशा मामला नहीं है। एक घटना जो गैलीलियन परिवर्तनों के तहत संरक्षित नहीं होती है वह है तरंगों का प्रसार; आमतौर पर, अंतरिक्ष और समय में एक तरंग \psi के प्रसार को मॉडल करने वाला समीकरण इस रूप में होता है

\displaystyle \nabla^2 \psi = \frac{1}{v_0^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} [4]

जहां v_0 तरंग प्रसार की गति है।

गैलीलियन परिवर्तनों का तरंग प्रसार पर क्या प्रभाव है?

इसके लिए एक छोटा और एक लंबा उत्तर है। छोटा उत्तर यह है कि “एक ही घटना को देखते हुए, विभिन्न जड़त्वीय पर्यवेक्षक ‘अलग भौतिकी’ देखेंगे”। लंबा उत्तर यह है कि गैलीलियन परिवर्तन लागू करने पर तरंग प्रसार समीकरण कैसे बदलता है; इसे करने के लिए, हम पहले समीकरण [4] लेते हैं और इसे प्रत्येक निर्देशांक पर विस्तारित करते हैं:

\displaystyle \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 \psi}{\partial z^2} = \frac{1}{v_0^2} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial t^2}. [5]

इस समीकरण के साथ, हमें अब [3] से समीकरणों का उपयोग कर अन्य गतिज फ्रेम में व्युत्पन्न को पुनः व्यक्त करना होगा।

पहले व्युत्पन्न का परिवर्तन

[3] से अभिव्यक्तियों का अनुसरण करते हुए और प्रत्येक चर को प्राइम चरों के संबंध में व्युत्पन्न करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

\displaystyle \frac{\partial x^\prime}{\partial x} = \frac{\partial y^\prime}{\partial y} = \frac{\partial z^\prime}{\partial z} = \frac{\partial t^\prime}{\partial t} = 1

\displaystyle \frac{\partial x^\prime}{\partial t} = - v_{x_0}

जबकि अन्य सभी शून्य हो जाते हैं:

\displaystyle \frac{\partial t^\prime}{\partial x} = \frac{\partial t^\prime}{आंशिक y} = \frac{\partial t^\prime}{आंशिक z} = \frac{\partial x^\prime}{आंशिक y} = \frac{\partial x^\prime}{आंशिक z} = \frac{\partial y^\prime}{आंशिक x} = \frac{\partial y^\prime}{आंशिक z} = \frac{\partial y^\prime}{आंशिक t} = \frac{\partial z^\prime}{आंशिक x} = \frac{\partial z^\prime}{आंशिक y} = \frac{\partial z^\prime}{आंशिक t} = 0

इसके साथ, हम अब श्रृंखला नियम के माध्यम से \psi के व्युत्पन्नों की गणना कर सकते हैं:

\displaystyle\frac{\partial \psi}{आंशिक x} = \frac{\partial \psi}{आंशिक x^\prime} \underbrace{\frac{\partial x^\prime}{आंशिक x}}_{=1} + \frac{\partial \psi}{आंशिक y^\prime} \underbrace{\frac{\partial y^\prime}{आंशिक x}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{आंशिक z^\prime} \underbrace{\frac{\partial z^\prime}{आंशिक x}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{आंशिक t^\prime} \underbrace{\frac{\partial t^\prime}{आंशिक x}}_{=0} = \frac{\partial \psi}{आंशिक x^\prime}.

और अन्य दो स्थानिक चरों के लिए इसी प्रकार:

\displaystyle\frac{\partial \psi}{आंशिक y} = \frac{\partial \psi}{आंशिक y^\prime}.

\displaystyle\frac{\partial \psi}{आंशिक z} = \frac{\partial \psi}{आंशिक z^\prime}.

हालांकि, समय संबंधी व्युत्पन्न में कुछ अंतर दिखाई देंगे:

\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{\partial \psi}{आंशिक t} &= \displaystyle\frac{\partial \psi}{आंशिक x^\prime}\underbrace{\frac{\partial x^\prime}{आंशिक t}}_{=-v_{x_0}} + \frac{\partial \psi}{आंशिक y^\prime}\underbrace{\frac{\partial y^\prime}{आंशिक t}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{आंशिक z^\prime}\underbrace{\frac{\partial z^\prime}{आंशिक t}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{आंशिक t^\prime}\underbrace{\frac{\partial t^\prime}{आंशिक t}}_{=1}\\ &=\displaystyle -v_{x_0} \frac{\partial \psi}{आंशिक x^\prime} + \frac{\partial \psi}{आंशिक t^\prime}, \end{array}

दूसरे व्युत्पन्नों का परिवर्तन

स्थानिक भाग के लिए, हम बिना किसी प्रमुख कठिनाइयों के जारी रख सकते हैं, परिणाम हैं:

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2}. [6]

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {y^\prime}^2} [7]

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {z^\prime}^2} [8]

लेकिन समय संबंधी भाग, जैसा कि हम पहले व्युत्पन्न से पहले ही अनुमान लगा सकते थे, महान अंतर दिखाता है:

\begin{array}{rl} \displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} &=\displaystyle \frac{\partial}{आंशिक t}\left( -v_{x_0} \frac{\partial \psi}{आंशिक x^\prime} + \frac{\partial \psi}{आंशिक t^\prime} \right)\\ & \displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{आंशिक t} \left(\frac{\partial \psi}{आंशिक x^\prime} \right) + \frac{\partial }{आंशिक t} \left(\frac{\partial \psi}{आंशिक t^\prime} \right)\\ &\displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{आंशिक x^\prime} \left(\frac{\partial \psi}{आंशिक t} \right) + \frac{\partial }{आंशिक t^\prime} \left(\frac{\partial \psi}{आंशिक t} \right)\\ &\displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{आंशिक x^\prime} \left(-v_{x_0} \frac{\partial \psi}{आंशिक x^\prime} + \frac{\partial \psi}{आंशिक t^\prime} \right) + \frac{\partial }{आंशिक t^\prime} \left(-v_{x_0} \frac{\partial \psi}{आंशिक x^\prime} + \frac{\partial \psi}{आंशिक t^\prime} \right) \end{array}

\displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = v_{x_0}^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} - 2v_{x_0}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^\prime \partial t^\prime} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {t^\prime}^2}. [9]

गैलीलियो के रूपांतरणों को तरंग प्रसारण पर लागू करना

इस प्रकार, तरंग प्रसारण समीकरण पर गैलीलियो रूपांतरण करना संभव है, [6,7,8] और [9] समीकरणों को [5] पर प्रतिस्थापित करके, जिससे परिणाम होता है:

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {y^\prime}^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {z^\prime}^2} = \frac{1}{v_0^2} \left(\color{red}{ v_{x_0}^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} - 2v_{x_0}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^\prime \partial t^\prime}} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {t^\prime}^2} \right). [10]

यह देखा गया है कि गैलीलियो रूपांतरणों के तहत तरंग प्रसारण का रूप लाल रंग में चिह्नित अतिरिक्त शर्तों के कारण नहीं बनता है। हालांकि इसका अभी कोई बड़ा परिणाम नहीं है, भविष्य की कक्षाओं में हम देखेंगे कि यह ठीक वह बिंदु है जो क्लासिकल भौतिकी के साथ “टूटता है”, विशेष सापेक्षता को रास्ता देते हुए।