उत्प्लावन बल

जब हम उत्प्लावन के बारे में बात करते हैं, तो पहली चीज़ जो हमारे दिमाग में आती है वह है कि वस्तुएं तरल में डूबने पर हल्की हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, एक चट्टान जिसे पानी के नीचे मुश्किल से उठाया जा सकता है, पानी के बाहर उसे उठाना लगभग असंभव हो जाता है। इस घटना को एक बल द्वारा समझाया जाता है जिसे उत्प्लावन बल कहा जाता है।

जब कोई वस्तु तरल में डूबी होती है, तो एक ऊपर की ओर उत्प्लावन बल उत्पन्न होता है, जो वस्तु द्वारा विस्थापित तरल के वजन के बराबर होता है। इसलिए, तरल में डूबी सभी वस्तुएं अपने भार का एक हिस्सा खो देती प्रतीत होती हैं, क्योंकि वस्तु के विभिन्न क्षेत्रों पर गहराई के अनुसार बलों में अंतर होता है। इस प्रकार, उत्प्लावन बल होगा:

F_{उत्प्लावन} = F_2 - F_1

चूंकि P=F/A और P=\rho g h, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि F=\rho g A h, जहाँ \rho तरल की घनत्व है, h गहराई है, A वह सतह क्षेत्र है जहाँ दबाव लागू होता है, और g गुरुत्वाकर्षण त्वरण है। इसके साथ, ऊपर और नीचे की सतहों पर लगने वाले बल होंगे:

F_1 = \rho g A h_1

F_2 = \rho g A h_2

इस प्रकार, हमारे पास होगा:

\begin{array}{rl} F_{\text{उत्प्लावन}} &= \rho g A h_2 - \rho g A h_1 \\ \\ &=\rho g A \underbrace{h_2 - h_1}_{\Delta h} \\ \\ &= \rho gV \\ \\ & =\text{विस्थापित तरल के आयतन का भार} \end{array}

इसे आर्किमिडीज़ का सिद्धांत कहा जाता है।

उदाहरण: एक 70[kg] की चट्टान झील के तल पर पड़ी है। यदि इसका आयतन 3\cdot 10^4 [cm^3] है, तो इसे उठाने के लिए कितनी ताकत की आवश्यकता होगी?

समाधान:

चट्टान पर लगने वाला उत्प्लावन बल होगा:

\begin{array}{rl} F_{\text{उत्प्लावन}} &= \rho_{\text{पानी}} g V_{चट्टान} \\ \\ &= 10^3 \left[\dfrac{kg}{m^3}\right] \cdot 9.81\left[\dfrac{m}{s^2}\right] \cdot 3 \cdot 10^4 [cm^3] \\ \\ &= 10^3 \left[\dfrac{kg}{m^3}\right] \cdot 9.81\left[\dfrac{m}{s^2}\right] \cdot 3 \cdot 10^4 \left[\dfrac{m}{100}\right]^3 = 294[N] \end{array}

जबकि चट्टान का भार बल है:

F_{\text{भार}} = m_{\text{चट्टान}}g = 70[kg] \cdot 9.81 \left[\dfrac{m}{s^2}\right]=686[N]

इसलिए, पानी के भीतर चट्टान को उठाने के लिए F = 686[N] - 294[N] = 392[N] बल पर्याप्त होगा। पानी के भीतर, यह चट्टान लगभग आधी ताकत से उठाई जा सकती है जितनी पानी के बाहर की आवश्यकता होगी।

उत्प्लावन और आर्किमिडीज़ का सिद्धांत

आर्किमिडीज़ का सिद्धांत हमें समझने में मदद करता है कि कुछ वस्तुएं क्यों तैरती हैं जब उन्हें कुछ तरल पदार्थों में डुबोया जाता है। उदाहरण के लिए, पानी में लकड़ी। सामान्य रूप से, कोई वस्तु तब तरल में तैरती है जब माध्यम की घनत्व उस वस्तु की घनत्व से अधिक हो, और वह तब तक तैरेगी जब तक वह तरल की सतह से बाहर न निकल जाए। शरीर तब तक उठेगा जब तक वह एक संतुलन स्थिति तक नहीं पहुंच जाता। हम कैसे गणना कर सकते हैं कि शरीर का कितना हिस्सा तरल से ऊपर निकलता है? इसे गणना करना आसान है।

यदि हम भार बल को उत्प्लावन बल के बराबर कर दें, तो हम गणना कर सकते हैं कि शरीर का कौन सा हिस्सा तरल की सतह से ऊपर निकलेगा। तर्क इस प्रकार है:

\begin{array}{rl} & F_{\text{भार}} = F_{\text{उत्प्लावन}}\\ \\ \equiv & m_{\text{वस्तु}} g = m_{\text{डूबा हुआ भाग}} g \\ \\ \equiv & \rho_{\text{वस्तु}}V_{\text{वस्तु}} g = \rho_{\text{डूबा हुआ भाग}} V_{\text{डूबा हुआ भाग}} g \\ \\ \equiv & \dfrac{\rho_{\text{वस्तु}}}{\rho_{\text{डूबा हुआ भाग}}} = \dfrac{V_{\text{डूबा हुआ भाग}}}{V_{\text{वस्तु}} } = \text{शरीर का डूबा हुआ हिस्सा प्रतिशत} \end{array}

उदाहरण: एक सरल मॉडल यह मानता है कि महाद्वीप एक ठोस चट्टान के रूप में है (घनत्व =2800[kg/m^3]) जो आसपास के पृथ्वी के मेंटल पर तैरता है (घनत्व =3300[kg/m^3])। मान लीजिए कि महाद्वीप की औसत मोटाई 35[km] है, मेंटल से औसत उभरी हुई ऊंचाई की गणना करें।

समाधान:

शरीर का डूबा हुआ प्रतिशत होगा:

डूबा हुआ प्रतिशत \displaystyle = \frac{\rho_{शरीर}}{\rho_{तरल}}

इसलिए, शरीर का वह हिस्सा जो मेंटल से उभरा हुआ है उसका प्रतिशत होगा:

उभरा हुआ प्रतिशत \displaystyle = 1 - \frac{\rho_{शरीर}}{\rho_{तरल}} = 1 - \frac{2800}{3300} \approx 0.15 = 15\%

चूंकि औसत मोटाई 35[km] है, तो औसतन उभरा हुआ हिस्सा होगा 15\% 35[km]\approx 5.3 [km].