अध्ययन के उद्देश्य:
इस कक्षा के अंत में, छात्र सक्षम होंगे:

1. लागू करना FND/FNC एल्गोरिथ्म को ठोस अभिव्यक्तियों पर, उनकी संयोजक और वियोजक मानक रूपों को खोजने के लिए।
2. समझना प्रोपोजिशनल लॉजिक में सरल और संयुक्त स्विच का उपयोग।
3. पहचानना संयुक्त स्विच और काले बक्से की संरचना।
4. प्रयोग करना उपकरण की जानकारी को सारांशित करने के लिए सत्य सारणी।
5. निकालना उपकरण के सत्य सारणी से FND और FNC।
6. डिज़ाइन करना एक संयुक्त स्विच जो दिए गए उपकरण के समान संचालन करता है।

सूची
FND/FNC एल्गोरिथ्म
सत्य सारणी से मानक रूप प्राप्त करने के लिए एल्गोरिथ्म: काले बक्से और संयुक्त स्विच
उदाहरण अभ्यास

हालांकि हमने साबित किया है कि सभी प्रोपोजिशनल लॉजिक अभिव्यक्तियाँ एक मानक रूप के समकक्ष होती हैं, लेकिन हमने यह नहीं बताया है कि ऐसे मानक रूपों को कैसे खोजें। इसे प्राप्त करने के लिए, हम एक एल्गोरिथ्म की समीक्षा करेंगे जिसका उद्देश्य मानक रूपों में अभिव्यक्तियाँ उत्पन्न करना है, और अंत में हम उन अनुप्रयोगों की समीक्षा करेंगे जो इन विषयों से उत्पन्न होते हैं।

FND/FNC एल्गोरिथ्म

FND/FNC एल्गोरिथ्म एक चरणों की श्रृंखला है जो आपको किसी भी प्रोपोजिशनल लॉजिक अभिव्यक्ति से इसके FND या FNC (अनुसार) में समकक्ष अभिव्यक्ति खोजने की अनुमति देगा। इसे निम्नलिखित तरीके से किया जाता है:

• चरण 1: सभी उप-अभिव्यक्तियों को (F\rightarrow G) के रूप में (\neg F\vee G), के साथ बदलें, और इसी तरह (F\leftrightarrow G). इस चरण को तब तक दोहराएं जब तक कि अभिव्यक्ति में सभी अंतर्निहितताएँ और दोहरी अंतर्निहितताएँ हटा दी जाती हैं।
• चरण 2: दोहरे नकारणों को हटाएं और जहाँ संभव हो वहाँ डी मॉर्गन के नियम लागू करें। निम्नलिखित प्रतिस्थापनों को लागू किया जाना चाहिए
  • \neg\neg G \longmapsto G
  • \neg(G\wedge H) \longmapsto (\neg G \vee \neg H)
  • \neg(G\vee H) \longmapsto (\neg G \wedge \neg H)

    जब कोई उप-अभिव्यक्तियाँ \neg\neg G, \neg(G \wedge H) या \neg(G \vee H), रूप में नहीं बचती हैं, चरण 3 पर आगे बढ़ें।

• चरण 3: यह चरण दो भागों में विभाजित होता है, इस पर निर्भर करता है कि आप FND या FNC प्राप्त करना चाहते हैं
  • यदि आप FNC प्राप्त करना चाहते हैं:

    \vee वितरण का उपयोग करें जहाँ संभव हो। अर्थात, निम्नलिखित प्रतिस्थापनों को लागू किया जाना चाहिए:

    \left.\begin{matrix}G\vee(H\wedge K) \\ \\ (H\wedge K)\vee G \end{matrix} \right\} \longmapsto (G\vee H)\wedge (G\vee K)

    जब कोई अभिव्यक्तियाँ G\vee(H\wedge K) या (H\wedge K)\vee G रूप में नहीं बचती हैं, तो आप FNC पर पहुँच जाएंगे।

  • यदि आप FND प्राप्त करना चाहते हैं:

    \wedge वितरण का उपयोग करें जहाँ संभव हो। अर्थात, निम्नलिखित प्रतिस्थापनों को लागू किया जाना चाहिए:

    \left.\begin{matrix}G\wedge(H\vee K) \\ \\ (H\vee K)\wedge G \end{matrix} \right\} \longmapsto (G\wedge H)\vee (G\vee K)

    जब कोई अभिव्यक्तियाँ G\wedge(H\vee K) या (H\vee K)\wedge G रूप में नहीं बचती हैं, तो आप FND पर पहुँच जाएंगे।

उदाहरण

FND/FNC एल्गोरिथ्म का उपयोग करके निम्नलिखित अभिव्यक्तियों को उनकी संयोजक और वियोजक मानक रूपों में बदलें।

1. (A\rightarrow (B\rightarrow A)) [समाधान]
2. ((A\vee B)\rightarrow(\neg B \wedge A)) [समाधान]

सत्य सारणी से मानक रूप प्राप्त करने के लिए एल्गोरिथ्म: काले बक्से और संयुक्त स्विच

FND/FNC एल्गोरिथ्म हमें किसी भी प्रोपोजिशनल लॉजिक अभिव्यक्ति के लिए, इसके मानक रूप में समकक्ष अभिव्यक्ति खोजने की अनुमति देता है। लेकिन ऐसी स्थितियाँ होती हैं जहाँ हमारे पास प्रारंभिक अभिव्यक्ति नहीं होती है जिसके साथ काम करना है। ऐसा तब होता है जब हमारे पास किसी अभिव्यक्ति F का सत्य सारणी परिणाम होता है जिसकी प्रोपोजिशनल संरचना हमें ज्ञात नहीं होती है। इसे शब्दों में समझाना एक लंबी प्रक्रिया है; तकनीक, हालांकि, यह दिखाने के उदाहरणों के माध्यम से बेहतर ढंग से समझी जाती है कि इसे कैसे विकसित किया जाता है, इसलिए मैं कुछ उदाहरण छोड़ दूँगा जिन्हें मैं वीडियो में विकसित करूंगा, लेकिन पहले आपको निम्नलिखित अवधारणाओं की समीक्षा करनी चाहिए:

• तार: वह माध्यम जिसके माध्यम से संकेत संचरित होता है
• नोड: वह बिंदु जहाँ 3 या अधिक तार मिलते हैं।
• सरल स्विच: एक उपकरण जो चालू (1) और बंद (0) की स्थितियों को स्वीकार करता है, और हमेशा इन दो स्थितियों में से केवल एक में होता है। चालू स्थिति संकेत को पारित करने की अनुमति देती है और बंद स्थिति इसे रोकती है।
• संयुक्त स्विच: यह एक उपकरण है जो सरल स्विच और तारों से बना होता है।
• काला बक्सा: यह कोई भी उपकरण होता है जिसकी आंतरिक संरचना को देखा नहीं जा सकता है।

सरल स्विचों का मॉडलिंग प्रोपोजिशनल वेरिएबल्स के माध्यम से किया जाता है, और संयुक्त स्विचों का मॉडलिंग प्रोपोजिशनल लॉजिक अभिव्यक्तियों के माध्यम से किया जाता है। सबसे सरल मामले वे हैं जो निम्नलिखित में दिखाए गए वियोजक और संयोजक कनेक्टर्स से प्राप्त होते हैं

संयोजक योजना

वियोजक योजना

उदाहरण अभ्यास

1. एक उपकरण एक काले बक्से और 4 क्रमबद्ध स्विचों से बना है। उपकरण की सक्रियता निम्नलिखित स्थितियों में होती है
   • स्थिति 1: यदि दो लगातार स्विच चालू होते हैं, तो यह सक्रिय होता है। यह स्थिति तीन लगातार स्विचों के चालू होने पर काम करना बंद कर देती है।
   • स्थिति 2: यदि सभी स्विच बंद हैं, तो यह सक्रिय होता है।
   • अपवाद: यदि उपरोक्त स्थितियाँ पूरी नहीं होती हैं, तो उपकरण बंद हो जाता है।

   a) इस जानकारी को सत्य सारणी में सारांशित करें [समाधान]

   b) सत्य सारणी से, उस मशीन के संचालन को पुनः उत्पन्न करने वाले FND और FNC को निकालें। [समाधान]

   c) पिछले चरण में प्राप्त FNC या FND (सबसे सरल एक) का उपयोग करें एक संयुक्त स्विच को डिजाइन करने के लिए जो उपकरण के समान संचालन करता है। [समाधान]

2. पिछले अभ्यास के समान, लेकिन अब उपकरण में 5 स्विच हैं। [पाठक के लिए चुनौती]