गणना तकनीकें और संभावनाएं

संयोजन, परिवर्तन और क्रमचय संभावनाओं के अध्ययन में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली गणना तकनीकें हैं क्योंकि ये समान संभाव्य परिणामों वाले प्रयोगों के अध्ययन में बहुत सरलता प्रदान करती हैं। इन प्रयोगों के सबसे प्रमुख उदाहरण जुआ खेलों से आते हैं। ये आमतौर पर एक नमूना स्थान \Omega = \{\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_N\} पर गैर-निर्धारित प्रक्रियाओं के बारे में होते हैं। इन प्रयोगों की सामान्य विशेषता यह होती है कि \{\omega_i\}\in\mathcal{A}_\Omega के सभी घटनाओं का, i\in\{1,2,\cdots, n\} के साथ, समान संभाव्यता होती है।

सापेक्ष आवृत्तियों की सीमा के रूप में संभाव्यता की माप से हम एक घटना की संभाव्यता को गणनात्मकता के अनुपात के रूप में स्थापित कर सकते हैं। जैसा कि हमने पहले देखा, यह निम्नलिखित संबंध के माध्यम से किया जाता है:

P(E) = \displaystyle \lim_{N\to\infty}g_N(E) = \lim_{N\to\infty}\frac{f_N(E)}{N}= \frac{\# E}{\# \Omega}

यहां प्रतीक “#” सेट की गणनात्मकता का प्रतिनिधित्व करता है। इसे संभाव्य मामलों पर अनुकूल मामलों का सूत्र कहा जाता है।

इन परिस्थितियों में, संभावनाओं की गणना नमूना स्थान और मापने वाले घटना की गणनात्मकता को मापने के लिए घटा दी जाती है। इसलिए, पहले कुछ गणना तकनीकें की समीक्षा करना बहुत उपयोगी होगा।

गणना तकनीकों का अधिग्रहण

संयोजन, परिवर्तन और क्रमचय को प्रस्तुत करने के लिए, हम कुछ समान संभाव्य परिणामों वाले प्रयोगों को डिजाइन करेंगे, और उनके आधार पर, हम उन तकनीकों को प्राप्त करेंगे।

मान लीजिए कि हमारे पास एक “संपूर्ण यादृच्छिक मशीन” है, जिसमें एक काला बॉक्स, एक मेमोरी, एक क्रिया बटन और एक रीसेट बटन शामिल हैं। मशीन के पास निम्नलिखित गुण हैं:

1. मशीन के पास केवल एक अनुकूलन योग्य सेटिंग है: इसके नमूना स्थान की गणनात्मकता \Omega_N = \{\omega_1,\cdots,\omega_N\}
2. क्रिया बटन दबाने पर, यह स्क्रीन पर \Omega_N के एक तत्व को प्रदर्शित करेगा
3. जब एक परिणाम प्रदर्शित होता है, तो यह मेमोरी में संग्रहीत हो जाता है, और जब तक यह वहां होता है, क्रिया बटन दबाने पर यह दोबारा प्रदर्शित नहीं होगा।
4. यदि मशीन ने सभी संभावित परिणामों को प्रदर्शित कर दिया है, तो यह रुक जाएगी और कुछ भी प्रदर्शित नहीं करेगी।
5. रीसेट बटन मेमोरी और स्क्रीन पर प्रदर्शित सभी को मिटा देता है।

इस मशीन का उपयोग करके, हम कुछ समान संभाव्य परिणामों वाले प्रयोगों को डिजाइन करेंगे और उनके नमूना स्थानों का विश्लेषण करेंगे।

प्रयोग 1 (AORm): क्रियान्वित करें – क्रम में नोट करें – रीसेट करें, m बार दोहराएं

मशीन को सेट किया जाता है \#\Omega = N और निम्नलिखित चरणों को m\leq N बार दोहराया जाता है:

1. क्रिया बटन दबाएं
2. परिणाम को एक क्रमबद्ध सूची में नोट करें
3. रीसेट करें

जब हम समाप्त करेंगे, हमें m तत्वों की एक क्रमबद्ध सूची प्राप्त होगी जो \Omega_N = \{\omega_1,\cdots,\omega_N\} से होंगी। इस सूची को \Omega_N के एक m-टुपल के रूप में व्याख्या की जा सकती है। दूसरे शब्दों में, इस प्रयोग का नमूना स्थान \Omega_{AORm} निम्नलिखित होगा:

\Omega_{AORm}=\Omega_N \times \cdots \times \Omega_N = \Omega_N^m

इसलिए, \#\Omega_{AORm}=\#\Omega_N^m = N^m होगा।

प्रयोग 2 (AOk): क्रियान्वित करें – क्रम में नोट करें, k बार दोहराएं

मशीन को फिर से सेट करें \#\Omega = N और निम्नलिखित चरणों को k बार (k\leq N) दोहराएं:

1. क्रिया बटन दबाएं।
2. परिणाम को एक क्रमबद्ध सूची में नोट करें।

जब हम समाप्त करेंगे, हमें k तत्वों की एक क्रमबद्ध सूची प्राप्त होगी जो \Omega_N = \{\omega_1,\cdots,\omega_N\} से होंगी, लेकिन जहां कोई भी तत्व उसके पहले के साथ दोहराया नहीं जाएगा।

चूंकि मशीन, सिद्धांत में, किसी भी संभावित परिणाम को दूसरे पर प्राथमिकता नहीं देती है (क्योंकि यह पूर्णतः यादृच्छिक है), यह बिना सामान्यता के हानि के स्वीकार किया जा सकता है कि पहली बार जब हमने क्रियान्वित किया तब \{\omega_1\} घटना हुई, ताकि अगली क्रिया का नमूना स्थान \Omega_N\setminus\{\omega_1\} होगा। उसी प्रकार, बिना सामान्यता के हानि के स्वीकार किया जा सकता है कि दूसरी बार क्रियान्वित करने पर \{\omega_2\} घटना हुई; इसलिए, अगली क्रिया का नमूना स्थान (\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\omega_2\} होगा। यदि हम इसी प्रकार जारी रखते हैं, तो जब हम k-वीं क्रिया तक पहुँचेंगे, तब उसका नमूना स्थान इस प्रकार होगा:

(\cdots(\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\omega_2\}\cdots)\setminus\{\omega_{k-1}\}

इस प्रकार, इस प्रयोग के संभावित परिणामों का नमूना स्थान निम्नलिखित होगा:

\Omega_{AOk}= \Omega \times (\Omega_N\setminus\{\omega_1\}) \times ((\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\omega_2\}) \times \cdots \times ((\cdots(\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\omega_2\}\cdots)\setminus\{\omega_{k-1}\})

इसलिए, यदि हम इस सेट की गणनात्मकता की गणना करते हैं, तो हमें मिलेगा:

\#\Omega_{AOk}= N \cdot (N-1) \cdot (N-2) \cdots [N-(k-1)]=\displaystyle \frac{N!}{(N-k)!}

इस परिणाम से निम्नलिखित परिभाषा उत्पन्न होती है:

प्रयोग 3 (ADk): क्रियान्वित करें – अव्यवस्थित रूप से नोट करें, k बार दोहराएं

यह प्रयोग पहले वाले के समान है, केवल अब \Omega_N के तत्वों के क्रम को रिकॉर्ड नहीं किया जाता है। यानी, दो k-टुपल्स जो समान तत्वों के साथ हैं, लेकिन अलग-अलग क्रम में हैं, अब एक ही वस्तु के रूप में माने जाएंगे। इस प्रकार, यह मानते हुए कि प्रयोग AOk से प्राप्त प्रत्येक k-टुपल को (k)_k=k! विभिन्न तरीकों से लिखा जा सकता है, इस प्रयोग के नमूना स्थान की गणनात्मकता निम्नलिखित होगी:

\#\Omega_{ADk} = \displaystyle \frac{\#\Omega_{AOk}}{(k)_k} = \frac{(N)_k}{k!} = \frac{N!}{k!(N-k)!}

इस परिणाम से निम्नलिखित परिभाषा उत्पन्न होती है:

अब हम गणना तकनीकें जैसे क्रमचय, परिवर्तन और संयोजन का उपयोग करके विभिन्न सेटों के आकार को माप सकते हैं।