تقنيات العد والاحتمالات

التوافيق والتغييرات والتباديل هي تقنيات العد الأكثر استخدامًا في دراسة الاحتمالات نظرًا للتسهيلات التي تقدمها في دراسة التجارب ذات النتائج المتساوية الاحتمال. واحد من الأمثلة الأكثر شهرة لهذه التجارب يأتي من ألعاب الحظ. هذه التجارب عمومًا تتعامل مع عمليات غير محددة على فضاء عينة \Omega = \{\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_N\}. هذه التجارب لها خاصية مشتركة أن جميع الأحداث من الشكل \{\omega_i\}\in\mathcal{A}_\Omega، مع i\in\{1,2,\cdots, n\}، لها نفس احتمال الحدوث.

من خلال قياس الاحتمال كحد للترددات النسبية يمكننا تحديد احتمال حدث كحاصل قسمة أعداد العناصر. كما رأينا بالفعل، يتم ذلك من خلال العلاقة التالية:

P(E) = \displaystyle \lim_{N\to\infty}g_N(E) = \lim_{N\to\infty}\frac{f_N(E)}{N}= \frac{\# E}{\# \Omega}

هنا، الرمز “#” يشير إلى عدد عناصر المجموعة. هذا ما يعرف ب صيغة الحالات المواتية على الحالات الممكنة.

في هذه الحالات، يتم تبسيط حساب الاحتمالات إلى حساب عدد عناصر فضاء العينة والحدث المراد قياسه. لذلك، سيكون من المفيد جدًا مراجعة بعض تقنيات العد أولاً.

الحصول على تقنيات العد

لتقديم التوافيق والتغييرات والتباديل، سنصمم بعض التجارب التي تحتوي على نتائج متساوية الاحتمال، ومن خلالها سنستخلص تقنيات العد.

افترض أن لدينا “آلة عشوائية مثالية”، تتكون من صندوق أسود، ذاكرة، زر تنفيذ وزر إعادة التعيين. الآلة لها الخصائص التالية:

1. الآلة لها إعداد واحد فقط قابل للتخصيص: عدد عناصر فضاء عينتها \Omega_N = \{\omega_1,\cdots,\omega_N\}
2. عند الضغط على زر التنفيذ، ستعرض على الشاشة أحد عناصر \Omega_N
3. عندما يتم عرض نتيجة، يتم تخزينها في الذاكرة، وأثناء وجودها هناك، لن تظهر مرة أخرى عند الضغط على زر التنفيذ.
4. إذا عرضت الآلة جميع النتائج الممكنة، ستتجمد ولن تعرض أي شيء.
5. زر إعادة التعيين يمسح الذاكرة وما تم عرضه على الشاشة.

باستخدام هذه الآلة، سنصمم بعض التجارب ونحلل فضاءات عيناتها.

التجربة 1 (AORm): تنفيذ – تسجيل بالترتيب – إعادة التعيين، تكرار m مرات

يتم إعداد الآلة \#\Omega = N ويتم تكرار الخطوات التالية m\leq N مرات:

1. اضغط على زر التنفيذ
2. سجل النتيجة في قائمة مرتبة
3. إعادة التعيين

عند الانتهاء، سنحصل على قائمة مرتبة تحتوي على m عناصر من \Omega_N = \{\omega_1,\cdots,\omega_N\}. يمكن تفسير هذه القائمة كمجموعة من m عناصر من \Omega_N. بعبارة أخرى، فضاء العينة لهذه التجربة \Omega_{AORm} سيكون على النحو التالي:

\Omega_{AORm}=\Omega_N \times \cdots \times \Omega_N = \Omega_N^m

لذلك، سيكون \#\Omega_{AORm}=\#\Omega_N^m = N^m.

التجربة 2 (AOk): تنفيذ – تسجيل بالترتيب، تكرار k مرات

نقوم بإعداد الآلة مرة أخرى \#\Omega = N ونكرر الخطوات التالية k مرات (k\leq N):

1. اضغط على زر التنفيذ.
2. سجل النتيجة في قائمة مرتبة.

عند الانتهاء، سنحصل على قائمة مرتبة تحتوي على k عناصر من \Omega_N = \{\omega_1,\cdots,\omega_N\}، ولكن لن يتكرر أي عنصر مع العناصر التي تسبقه.

نظرًا لأن الآلة، في الأساس، لا تفضل أي نتيجة ممكنة على أخرى (لأنها عشوائية تمامًا)، يمكن افتراض دون فقدان العمومية أنه عند الضغط على زر التنفيذ لأول مرة حدث الحدث \{\omega_1\}، لذلك يجب أن يكون فضاء العينة للإجراء التالي هو \Omega_N\setminus\{\omega_1\}. وبالمثل، يمكن افتراض دون فقدان العمومية أنه عند الضغط على زر التنفيذ للمرة الثانية يحدث الحدث \{\omega_2\}؛ لذلك، يجب أن يكون فضاء العينة للإجراء التالي هو (\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\omega_2\}. إذا واصلنا هذا الطريق، فعند الوصول إلى الإجراء k، سيكون فضاء العينة كما يلي:

(\cdots(\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\omega_2\}\cdots)\setminus\{\omega_{k-1}\}

لذلك، سيكون فضاء العينة للنتائج الممكنة لهذه التجربة كما يلي:

\Omega_{AOk}= \Omega \times (\Omega_N\setminus\{\omega_1\}) \times ((\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\omega_2\}) \times \cdots \times ((\cdots(\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\omega_2\}\cdots)\setminus\{\omega_{k-1}\})

لذلك، إذا حسبنا عدد عناصر هذا المجموعة، سنحصل على:

\#\Omega_{AOk}= N \cdot (N-1) \cdot (N-2) \cdots [N-(k-1)]=\displaystyle \frac{N!}{(N-k)!}

من خلال هذا النتيجة، يتم إنشاء التعريف التالي:

التجربة 3 (ADk): تنفيذ – تسجيل بدون ترتيب، تكرار k مرات

هذه التجربة هي نفس السابقة تمامًا، فقط الآن لا يتم تسجيل ترتيب ظهور عناصر \Omega_N. بمعنى آخر، سيتم اعتبار مجموعتين من k عناصر بنفس العناصر ولكن بترتيب مختلف كشيء واحد. لذلك، باستخدام أن كل مجموعة من k عناصر يتم الحصول عليها من التجربة AOk يمكن كتابتها بطرق مختلفة (k)_k=k!، سيكون عدد عناصر فضاء العينة لهذه التجربة كما يلي:

\#\Omega_{ADk} = \displaystyle \frac{\#\Omega_{AOk}}{(k)_k} = \frac{(N)_k}{k!} = \frac{N!}{k!(N-k)!}

من خلال هذا النتيجة، يتم إنشاء التعريف التالي:

باستخدام تقنيات العد من التباديل والتغييرات والتوافيق، يمكننا الآن قياس حجم مجموعة متنوعة من المجموعات.